《三角函数的诱导公式》(第二课时) 教案

2024年2月7日发(作者：)

课 题：1.2.3三角函数的诱导公式（二）

教学目的：

能熟练掌握诱导公式一至五，并运用求任意角的三角函数值，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证。

教学重点：诱导公式

教学难点：诱导公式的灵活应用

授课类型：新授课

课时安排：2课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

诱导公式一（其中kZ）: 用弧度制可写成

sin(k360)sin

sin(2k)sin

cos(k360)cos

cos(2k)cos

tan(k360)tan

tan(2k)tan

公式二： 用弧度制可表示如下：

sin(180）-sin

sin(）-sin

cos(180）-cos

cos(）-cos

tan(180）tan

tan(）tan

公式三：

sin(）-sin

cos(）cos

tan(）tan

公式四： 用弧度制可表示如下：

sin(180）sin

sin(）sin

cos(180）-cos

cos(）-cos

tan(180）tan

tan(）tan

公式五： 用弧度制可表示如下：

sin(360）-sin

sin(2）-sin

cos(360）cos

cos(2）cos

tan(360）tan

tan(2）tan

二、讲解范例：

例1．求下列三角函数的值

(1) sin240º； (2)cos57；(3) cos(-252º)；(4) sin（-）

463

2解：（1）sin240º=sin(180º+60º)＝－sin60º=

(2)

cos25=cos=cos=；

2444(3) cos(-252º)=cos252º= cos(180º+72º)=－cos72º=－0.3090；

(4) sin（-771）=－sin=－sin=sin=

66662说明：本题是诱导公式二、三的直接应用．通过本题的求解，使学生在利用公式二、三求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练．本例中的（3）可使用计算器或查三角函数表．

例2．求下列三角函数的值

(1)sin(-119º45′)；(2)cos57；(3)cos(-150º)；(4)sin.

34解：(1)sin(－119º45′)=－sin119º45′=－sin(180º-60º15′)

= －sin60º15′=－0.8682

(2)cos51=cos(2)=cos=

33323；

2(3)cos(-150º)=cos150º=cos(180º-30º) =－cos30º=(4)sin27=sin(2)=－sin=.

2444说明：本题是公式四、五的直接应用，通过本题的求解，使学生在利用公式四、五求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练．本题中的（1）可使用计算器或查三角函数表．

例3．求值：sin113110

－cos－sin63107642-cos3略解：原式=-sin411-sin

10 =-sin-cos+sin

6310 =sin11+cos+sin =++0.3090=1.3090 .

102263说明：本题考查了诱导公式一、二、三的应用，弧度制与角度制的换算，是一道比例1略难的小综合题．利用公式求解时，应注意符号．

例4．求值：sin(-1200º)·cos1290º+cos(-1020º)·sin(-1050º)+tan855º.

解：原式＝－sin(120º+3·360º)cos(210º+3·360º)

+cos(300º+2·360º)[-sin(330º+2·360º)]+tan(135º+2·360º)

＝－sin120º·cos210º－cos300º·sin330º+tan135º

＝－sin(180º－60º)·cos(180º+30º)

－ cos(360º－60º)·sin(360º-30º)+sin(18045)

cos(18045)3311·+·-1=0

2222=sin60º·cos30º+cos60º·sin30º－tan45º=说明：本题的求解涉及了诱导公式一、二、三、四、五以及同角三角函数的关系．与前面各例比较，更具有综合性．通过本题的求解训练，可使学生进一步熟练诱导公式在求值中的应用．

例5．化简：sin(3)cos(4).

cos(5)sin()略解：原式=sin()coscos==1.

cos()[sin()]cos说明：化简三角函数式是诱导公式的又一应用，应当熟悉这种题型．

例6．化简：sin[(2n1)]2sin[(2n1)](nZ)

sin(2n)cos(2n)解：原式=sin[()2n]2sin[()2n]

sin(2n)cos(2n) =sin()2sin()sin2sin3 = =.

sincossincoscos说明：本题可视为例5的姐妹题，相比之下，难度略大于例5．求解时应注意从所涉及的角中分离出2的整数倍才能利用诱导公式一．

例7．求证：sin(3)cos(4)sin(4)cos(2)

cos()cos()sin()tan()sin()证明：左边=sin()cossin[()4]cos =

cos()sin()cossinsin()cos()sincos(cossin)sincoscossin=

22cossincossincossinsincos = =sincos，

sincossincossincos右边==，

cossinsincos所以，原式成立．

1cos(180)cos()tan3 例8．求证1sin(360)sin(540)11coscoscoscos证明：左边＝

11sinsinsin(180)sin1cos2sin2sin3cos ＝＝tanα＝右边，

221sincoscossin所以，原式成立．

说明：例7和例8是诱导公式及同角三角函数的基本关系式在证明三角恒等式中的又一应用，具有一定的综合性．尽管问题是以证明的形式出现的，但其本质是等号左、右两边三角式的化简．

例9．已知cos()，解：已知条件即cos 又132．求：sin(2)的值．

221，

232，

2122所以：sin(2)sin(1cos2)=1()3

2说明：本题是在约束条件下三角函数式的求值问题．由于给出了角的范围，因此，的三角函数的符号是一定的，求解时既要注意诱导公式本身所涉及的符号，又要注意根据的范围确定三角函数的符号．

例10．已知1tan(720)322,求:

1tan(360)1的值.

cos2(2)[cos2()sin()cos()2sin2()]解：由1tan(720)322，得

1tan(360)（422)tan222，

所以tan2224222

2

故

[cos()sin()cos()2sin()]221

2cos(2)=[cos2sincos2sin2]21

2cos=1＋tan＋2tan

=1+2222()22.

222说明：本题也是有约束条件的三角函数式的求值问题，但比例9要复杂一些．它对于学生熟练诱导公式及同角三角函数关系式的应用．提高运算能力等都能起到较好的作用．

例11．已知解：因为622，cos()m(m0)，求tan()的值．

3332，

（）332所以：cos()cos[()]=cos()＝－m

33322由于所以0

，，6332于是：sin(22)1cos2()=1m2，

332)1m223)所以：tan((= .

2m3cos()322说明：通过观察，获得角与角，为之间的关系式=-（）33332顺利利用诱导公式求cos()的值奠定了基础，这是求解本题的关键，我们应当善于3sin(引导学生观察，充分挖掘的隐含条件，努力为解决问题寻找突破口，本题求解中一个鲜明的特点是诱导公式中角的结构要由我们通过对已知式和欲求之式中角的观察分析后自己构造出来，在思维和技能上显然都有较高的要求，给我们全新的感觉，它对于培养学生思维能力、创新意识，训练学生素质有着很好的作用．

例12．已知cos2，角的终边在y轴的非负半轴上，求cos23的值．

3解：因为角的终边在y轴的非负半轴上，

所以：=22k(kZ)，

于是 2（）=4k(k)

从而

234k(kZ)，

所以

cos(23)cos[()4k]=cos()=cos=2

3说明：本题求解中，通过对角的终边在y轴的非负半轴上的分析而得的=22k(kZ)，还不能马上将未知与已知沟通起来．然而，当我们通过观察，分22k代入，析角23的结构特征，并将它表示为2（）后，再将=那么未知和已知之间随即架起了一座桥梁，它为利用诱导公式迅速求值扫清了障碍．通过本题的求解训练，对于培养学生的观察分析能力以及思维的灵活性和创造性必将大有裨益．

三、课堂练习：

1．已知sin(+π)＝ －11，则的值是（ ）

cos(7)2 (C)－（A）23

3(B) －2

23

3(D)±23

32．式子cos(585)的值是 （ ）

sin630sin(690) (B)2 (C)（A）22

2

3 (D)-

2

33．，β，γ是一个三角形的三个内角，则下列各式中始终表示常数的是（ ）

（A）sin(+β)+sinγ (B)cos(β+γ)- cos

(C)sin(+γ)-cos(-β)tanβ

4．已知：集合Px|xsin(D)cos(2β+γ)+ cos2

(k3),kZ，集合

3（ ）．

(21k)Qy|ysin,kZ，则P与Q的关系是

3（A）PQ

5．已知sin((B)PQ (C)P=Q (D)P∩Q=φ

2)cos,cos(2)sin对任意角均成立．若f

(sinx)=cos2x，则f(cosx)等于（ ）．

（A）-cos2x (B)cos2x (C) -sin2x (D)sin2x

6．已知13cos()2cos(3)，则的值等于 ．

cos()39sin(5)7．cos5cos234= ．

coscos5558．化简：sin()sin(900)所得的结果是 ．

tan(360)cos(180)cos(360)1sin(180)sin()cot3． 9．求证1cos(360)cos(540)cos2(nx)sin2(nx)10．设f(x)=， 求f

()的值．

(nZ)6cos2[(2n1)x]答案与提示1．D 2．B 3．C 4．C 5．A 6．±3 7．0 8．－2cosα

4cos39．提示：左边利用诱导公式及平方关系，得，右边利用倒数关系和商数关系，得3sincos31，所以左边=右边．10．．提示：分n=2k，n=2k+1(k∈z)两种情况讨论，均求得3sin4f(x)=sin2x．故f(1)=．

64四、小结

应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：

1用“ ”公式化为正角的三角函数；

2用“2k + ”公式化为[0，2]角的三角函数；3用“±”或“2  ”公式化为锐角的三角函数

五、课后作业：

六、板书设计（略）

七、、课后记：