2024年2月8日发(作者：)
常用的连续傅里叶变换对及其对偶关系
f(t)=1+∞F(ω)ejωtdω
∫2π−∞
F(ω)=∫+∞−∞f(t)e−jωtdt
f(0)=+∞1+∞ωω
F(0)=f(t)dt
F()d∫∫−∞2π−∞连续傅里叶变换对
重要
对偶的连续傅里叶变换对
连续时间函数f(t)
直流1
连续时间函数f(t)
冲激δ(t)
冲激偶δ'(t)
傅里叶变换F(ω)
1
jω
(jω)n
πδ(ω)+jπδ'(ω)−2
jωe−jωt0
π[δ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)]
jπ[δ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)]
抽样函数τSa(傅里叶变换F(ω)
2πδ(ω)
2πjδ'(ω)
重要√
√
√
√
t
tn
δ(n)(t)
阶跃u(t)
单位斜变tu(t)
2πjnδ(n)(ω)
u(ω)
1
jω111δ(t)−
22πjtω2
1,t≠0
πt
ω>⎧−j, 0⎪F(ω)=⎨0,
ω=0
⎪ω<⎩j, 0√
√
√
√
√
t>⎧1, 0⎪符号sgn(t)=⎨0, 0t=
⎪−1, 0t<⎩冲激延时δ(t−t0)
余弦cos(ω0t)
正弦sin(ω0t)
√
√
δ(t+t0)+δ(t−t0)
复指数信号ejω0t2πδ(ω−ω0)
2cos(t0ω)
j2sin(t0ω)
低通G2ω(ω)=⎨cδ(t+t0)−δ(t−t0)
抽样脉冲⎧t<τ/2⎪1,
门脉冲Gτ(t)=⎨t≥τ2⎪⎩0, /ωτ2)
ωcπSa(ωct)
⎧⎪1,
ω<ωc⎪⎩0,
ω≥ωc√
三角f(t)=⎨⎧⎪1−tτ,t<τ⎪⎩0,
t≥ττSa2(ωτ2)
ωc2πSa2(ωct2)
⎧⎪1−ωωc,ω<ωcF(ω)=⎨⎪⎩0,
ω≥ωc
√
√
√
√
√
√
√
√
单边指数e−atu(t),a>0
双边指数e−at1
a+jω2a
a+ω221
τ−jt2πe−τωu(ω),τ>0
√,a>0
τt+τ22
πe−τω,τ>0
e−atcos(ω0t)u(t),a>0
a+jω
2(a+jω)2+ω0
1,τ>0
(τ−jt)2
2πωe−τωu(ω)
e−atsin(ω0t)u(t),a>0
指数脉冲te−atu(t),a>0
ω0
2(a+jω)2+ω01
(a+jω)21
(a+jω)k+∞+∞111tk−1e−atu(t),a>0
(k−1)!时域周期冲激序列δT1(t)=t−()2
n=−∞∑δ(t−nT)↔ω∑δ(ω−nω)=δω(ω)频域周期冲激序列
n=−∞1钟形脉冲eτ
τ⎡2⎦钟形脉冲πτeSa2⎢⎣−(ωτ2)2
,ω=nω1
ττ⎤矩形调幅cosω0t⎡⎢u(t+)−u(t−)⎥⎣2+∞(ω+ω0)τ(ω−ω0)τ⎤+Sa⎥22⎦+∞f(t)=n=−∞∑F(nω1)ejnω1t
F(ω)=2π∑F(nω1)δ(ω−nω1),F(nω1)=1F0(ω)n=−∞T1TT⎤⎡f0(t)=f(t)⎢u(t+1)−u(t−1)⎥↔F0(ω)22⎦⎣
连续傅里叶变换性质及其对偶关系
f(t)=1+∞F(ω)ejωtdω
∫−∞2π+∞
F(ω)=∫−∞f(t)e−jωtdt
f(0)=+∞1+∞F()dωω
F(0)=∫−∞f(t)dt
2π∫−∞连续傅里叶变换对
重要
名称
线性
尺度
变换
连续时间函数f(t) 傅里叶变换F(ω)
名称
尺度
+
时移
互易性频移
频域
微分
频域
积分
频域
卷积
对偶的连续傅里叶变换对
连续时间函数f(t) 傅里叶变换F(ω)
重要√
√
αf1(t)+βf2(t)
f(at),a≠0
αF1(ω)+βF2(ω)
1ωF()
aaf(t)↔F(ω)
f(at−b),a≠0
1ω−jωbF()ea
aa
√√√√
√√
对偶性
√
√
√
√
时移
时域
微分
时域
积分
时域
卷积
F(t)↔2πf(−ω)
f(t)ejω0t
(−jt)f(t)
πf(0)δ(t)+f(t)
−jtF(ω−ω0)
F'(ω)
f(t−t0)
f'(t)
F(ω)e−jωt0
jωF(ω)
πF(0)δ(ω)+F(ω)
jωf(−1)(t)=∫f(τ)dτ
−∞t∫ω−∞F(σ)dσ
f(t)*h(t)
F(ω)H(ω)
f(t)p(t)
1F(ω)*P(ω)
2πF(ω)=R(ω)+jX(ω)实部R(ω)为偶函数虚部X(ω)为奇函数反褶
f(−t)时域反褶
f*(t)共轭
f*(−t)共轭取反
F(−ω)频域反褶
F*(−ω)共轭取反
F*(ω)共轭
奇偶
虚实
性
f(t)为实函数
√
共轭
对称
性
fe(t)=even{f(t)}实偶
fo(t)=odd{f(t)}实奇
F(ω)=R(ω)实偶√
F(ω)=jX(ω)虚奇
希尔伯特变换
时域
抽样
帕塞瓦尔定理
F(ω)=R(ω)+jI(ω)
f(t)=f(t)u(t)
+∞R(ω)=I(ω)*1Ts+∞1
πωs
频域
抽样
1
F(ω)∑δ(ω−nωs)n=−∞+∞
√
√
f(t)∑δ(t−nTs)
n=−∞n=−∞∑F(ω−nω)
ωsn=−∞∑+∞f(t−nTs)
∫∞−∞f(t)dt=221∞ωF()dω
2π∫−∞
双边拉普拉斯变换对与双边z变换对的类比关系
F(s)=∫+∞−∞f(t)e−stdt
X(z)=n=−∞∑x(n)z+∞−n
重要
√
√
双边拉普拉斯变换对
连续时间函数f(t) 象函数F(s)和收敛域离散时间序列x(n)
双边z变换对
象函数X(z)和收敛域
1, 整个z平面
重要√
√
√
δ(t)
n阶导数δ(n)1, 整个s平面
δ(n)
k阶后向差分∇δ(n)
k(t)
s, 有限s平面
n(z−1)k,z>0
zkz,z>1
z−1u(t)
1,σ>0
s1,σ>0
s2n!,σ>0
sn+1u(n)
√
tu(t)
tnu(t),n∈]+
−u(−t)
−tu(−t)
−tnu(−t),n∈]+
nu(n)
z,z>1
(z−1)2√
n!u(n)
(n−k)!k!−u(−n−1)
−nu(−n−1)
−z,z>1
(z−1)k+1z,z<1
z−1z,z<1
(z−1)2z,z<1
(z−1)k+1√
√
1,σ<0
s1,σ<0
s2n!,σ<0
sn+1
√
√
n!u(−n−1)
(n−k)!k!e−atu(t)
1,σ>−a
s+a1,σ>−a
(s+a)2n!,σ>−a
(s+a)n+1anu(n)
nan−1u(n)
(n+1)au(n)
(n+1)!anu(n)
(n+k−1)!k!nz,z>a
z−az,z>a
(z−a)2z2,z>a
(z−a)2zk+1,z>a
(z−a)k+1√
te−atu(t)
√
√
teu(t),n∈]
n−at+√
√
n−e−atu(−t)
−teu(−t)
−at1,σ<−a
s+a1,σ<−a
(s+a)2+−anu(−n−1)
−(n+1)au(−n−1)
nz,z
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