(完整版)大学高数公式大全

2024年2月8日发(作者：)

高等数学公式高等数学公式导数公式：(tgx)(ctgx)(secx)(cscx)(a)xsecxcscxsecxtgxcscxctgxalna1xlnax22(arcsinx)(arccosx)(arctgx)(arcctgx)11x211x11x22(logax)11x2基本积分表：三角函数的有理式积分：tgxdxctgxdxsecxdxcscxdxdxaxa2lncosxlnsinxCCCCdxcosxdxsinx22secxdxcscxdxsecx22tgxClnsecxtgxlncscxctgx1a11arctglnlnxxaaxaaaxxxaCctgxCCsecxtgxdxcscxctgxdxadxxcscxCCCxdxadxxdx22ax222a2a2CshxdxCCchxdxdxx2lnachx22shxC2arcsinln(xx2a)2Caxa22In0sinxdx0ncosxdxx2x2x2xxa2nn1naaa2In2xxa2adxadxxdx222aax2222ln(xlnxarcsinxxxa2a)CaC22222222C222sinx2u1u2，　cosx1u22，　utg，　dx21u21u1/ 12x2du

高等数学公式一些初等函数：两个重要极限：双曲正弦:shxexex2xxee双曲余弦:chx2xshxe双曲正切:thxxchxearshxln(xarchxarthxln(1xlim(1)xxeexx）12x1)三角函数公式：·诱导公式：函数角A

-α90°-α90°+α180°-α180°+α270°-α270°+α360°-α360°+α·和差角公式：sin cos tg ctg

-sinαcosα-tgα-ctgαcosαsinαctgαtgαcosα-sinα-ctgα-tgαsinα-cosα-tgα-sinα-cosαtgα-ctgαctgα-cosα-sinαctgαtgα-cosαsinα-ctgα-tgα-sinαcosα-tgα-ctgαsinαcosαtgα·和差化积公式：ctgαsin(cos(tg(ctg()))sintg1tgctgctgcostgtgctgctgcossinsinsinsinsincoscossinsincoscos2sin2cos2cos2sincoscos2222cossincossin2222)12/ 12

高等数学公式·倍角公式：sin2cos2ctg2tg22sincos2cos22112sin2cos2sin2sin3cos3tg33sin4cos3tg34sintg233ctg12ctg2tg21tg3cos13tg·半角公式：sintg1cos221cos1cosasinA　　　　　　　　　　1cossinbsinBarcsinxcsinCsin1cos2R　　cos1cos221cos1cossin22　　ctgsin1cos21cos2·正弦定理：·余弦定理：cab22abcosC·反三角函数性质：2arccosx　　　arctgx2arcctgx高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：(uv)u(n)nCuk0kn(nk)v(k)(n)vnu(n1)vn(n1)2!u(n2)vn(n1)(nk!k1)u(nk)v(k)uv(n)中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当F(x)曲率：f(b)f(a)F(a)f(a)f()f()(ba)f(b)F(b)F()拉格朗日中值定理。x时，柯西中值定理就是弧微分公式：ds平均曲率：KM点的曲率：K直线：K0;s.1ydx,其中y2tg化量；s：MM弧长。:从M点到M点，切线斜率的倾角变dsds(1yy)23lims0.半径为a的圆：K1a.3/ 12

高等数学公式定积分的近似计算：b矩形法：f(x)abba(y0nba1[(y0n2y1yn)yn)yn1)y12(y2yn1]y4yn2)4(y1y3yn1)]梯形法：f(x)ab抛物线法：f(x)aba[(y03n定积分应用相关公式：功：WFspAkm1m2r2水压力：F引力：F,k为引力系数1b2b函数的平均值：y1babaf(x)dxa均方根：f(t)dta空间解析几何和向量代数：空间2点的距离：dM1M2(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2向量在轴上的投影：PrjuABPrju(a1aba2)Prja1axbxPrja2aybyABcos,是AB与u轴的夹角。abcosazbz,是一个数量,axbxax2两向量之间的夹角：cosicabaxbxjaybykaz,cbzaybyaz2azbzbx2ay2by2bz2absin.例：线速度：向量的混合积：[abc](ab)cbxcx代表平行六面体的体积。aybycyazbzczabccos,为锐角时，4/ 12

高等数学公式平面的方程：、点法式：A(x1x0)B(yy0)C(zz0)0，其中n{A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：AxByCzD03、截距世方程：xyzabc1平面外任意一点到该平面的距离：dAx0By0Cz0DA2B2C2空间直线的方程：xx0yy0zz0mnpt,其中s{m,n,p};参数方程：二次曲面：21、椭球面：xy2z2a2b2c21x2y22、抛物面：2p2qz（,p,q同号）3、双曲面：x2y22单叶双曲面：za2b2c21x2y22双叶双曲面：za2b2c2（马鞍面）1多元函数微分法及应用全微分：dzzzuuxdxydy　　　duuxdxydyzdz全微分的近似计算：zdzfx(x,y)xfy(x,y)y多元复合函数的求导法：zf[u(t),v(t)]　　　dzzuzvdtutvt　zf[u(x,y),v(x,y)]　　　zx　zuzvuxvx当uu(x,y)，vv(x,y)时，duuuxdxydy　　　dvvxdxvydy　隐函数的求导公式：F(x,y)0，　　dyFd2隐函数xdxF，　　ydx2(FxyxF)＋yy(FxF)dyydx隐函数F(x,y,z)0，　zFxzFyxF，　　zyFz5/ 12xx0yy0zz0ntptmt

高等数学公式FF隐函数方程组：F(x,y,u,v)0,G)uvFuFvG(x,y,u,v)0　　　J(F(u,v)GGGuGvuvu1(F,G)v1(F,G)xJ(x,v)　　　　xJ(u,x)u1(F,G)1(F,G)yJ(y,v)　　　　vyJ(u,y)微分法在几何上的应用：x(t)空间曲线y(t)在点M(xxx0yy0zz00,y0,z0)处的切线方程：z(t)(t0)(t0)(t0)在点M处的法平面方程：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0若空间曲线方程为：F(x,y,z)0G(x,y,z)0,则切向量T{FyFzzFxGG,F,FxFyyzGzGxGxG}y曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,z0)，则：1、过此点的法向量：n{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(z3、过此点的法线方程：xx0yy0zz0Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：fflcosfxysin其中为x轴到方向l的转角。函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)ffxiyj它与方向导数的关系是：flgradf(x,y)e，其中ecosisinj，为l方向上的单位向量。fl是gradf(x,y)在l上的投影。多元函数的极值及其求法：设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0，令：fxx(x0,y0)A,　fxy(x0,y0)B,　fyy(x0,y0)CACB20时，A0,(x0,y0)为极大值A0,(x0,y0)为极小值则：ACB20时，　　　　　　无极值ACB20时,　　　　　　　不确定6/ 12z0)0

高等数学公式重积分及其应用：f(x,y)dxdyDDf(rcos,rsin)rdrdzxx(x,y)dxD2曲面zf(x,y)的面积AD1zy2dxdyy(x,y)dyD平面薄片的重心：xMM(x,y)dD,　　yMM(x,y)dDyD平面薄片的转动惯量：对于x轴IxDy2(x,y)d,　　对于y轴Ix2(x,y)d平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(aFxfD0)的引力：F3{Fx,Fy,Fz}，其中：faD(x,y)xd3，　　FyfD(x,y)yd(x2，　　Fz(x,y)xd3(x2y2a)22y2a)22(x2y2a)22柱面坐标和球面坐标：x柱面坐标：yrcosrsin,　　　zzf(rcos,rsin,z)cossin，　　dvrdrsind2f(x,y,z)dxdydzF(r,,z)rdrddz,其中：F(r,,z)x球面坐标：yzrsinrsindrrsindrddr(,)2rcosF(r,,)rsindrdd02f(x,y,z)dxdydz重心：x1Md0d0F(r,,)rsindrzdv，　　其中M(x22xdv,　　y(y221Mydv,　　zy1M2xy)dv2dv转动惯量：Ix曲线积分：z)dv，　　I(x2z)dv，　　Iz第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：xy(t)(t),　　(t),则：xyt(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：22f(x,y)dsLf[(t),(t)](t)(t)dt　　()　　特殊情况：7/ 12

高等数学公式第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：设L的参数方程为x(t)y(t)，则：P(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dtL两类曲线积分之间的关系：PdxQdy(PcosQcos)ds，其中和分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。格林公式：(QPPdxQdy格林公式：(QPdxdyPdxQdyDxy)dxdyLDxy)L当Py,Qx，即：QPxy2时，得到D的面积：Adxdy1xdyydxD2L·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且Q＝Pxy。注意奇点，如(0,0)，应减去对此奇点的积分，注意方向相反！·二元函数的全微分求积：在Qx＝Py时，PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：(x,y)u(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy，通常设x0y00。(x0,y0)曲面积分：对面积的曲面积分：f(x,y,z)dsf[x,y,z(x,y)]1z22x(x,y)zy(x,y)dxdyDxy对坐标的曲面积分：P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy，其中：R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正号；DxyP(x,y,z)dydzP[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号；DyzQ(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。Dzx两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds高斯公式：(PQRxyz)dvPdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds高斯公式的物理意义——通量与散度：散度：divPQRxyz,即：单位体积内所产生的流体质量，若div0,则为消失通量：AndsAnds(PcosQcosRcos)ds，因此，高斯公式又可写成：divAdvAnds8/ 12...

高等数学公式斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：(RyQz)dydz(PzRx)dzdxdzdxyQ(QxPy)dxdycosxPPdxcosyQRQdycoszRPyRdzdydz上式左端又可写成：xPdxdyzRRyQz空间曲线积分与路径无i旋度：rotAxPjyQ关的条件：kzR，　PzQ，　xx向量场A沿有向闭曲线常数项级数：等比数列：1等差数列：1调和级数：1级数审敛法：1、正项级数的审敛法设：limnn的环流量：PdxQdyRdzAtdsq212q312qn1nn111qnq(n1)n23是发散的——根植审敛法（柯西判1时，级数收敛1时，级数发散1时，不确定别法）：un，则2、比值审敛法：设：U1时，级数收敛n1nlimnU，则1时，级数发散1时，不确定3、定义法：snu1u2un;limsn存在，则收敛；否则发n散。交错级数u1u2如果交错级数满足u3u4unun1(或u1u2u3,un0)的审敛法——莱布尼兹定理：un1。limunn，那么级数收敛且其和su1,其余项rn的绝对值rn0绝对收敛与条件收敛：9/ 12

高等数学公式(1)u1(2)u1u2u2u3un，其中un为任意实数；un收敛级数；(1)为条件收敛级数。n如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对如果(2)发散，而(1)收敛，则称调和级数：　　级数：　　p级数：幂级数：23n1n1n发散，而收敛；(1)n收敛；21npｐ１时发散　　p1时收敛1xxxx　　2xx1时，收敛于1时，发散anxxn11x收敛，也不是在全对于级数(3)a0a1x　a2x，如果它不是仅在原点R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使xxR时发散，其中R称为收敛半径。R时不定0时，R1求收敛半径的方法：设limnanan1，其中an，an1是(3)的系数，则0时，R时，R0函数展开成幂级数：函数展开成泰勒级数：余项：Rnx0f(n(n1)f(x)x0)n1f(x0)(xx0)f(x0)2!(xx0)2f(n)(x0)n!(xx0)0n()(x1)!,f(x)可以展开成泰勒级数的f(0)f(0)xf(0)2!n1)充要条件是：limRnnx20时即为麦克劳林公式：f(x)f(n)(0)n!xn一些函数展开成幂级数：(1x)m1x3mxx5m(m2!5!1)x2m(mx2n11)(mn!xn　　　(1)x1)sinxx3!(1)n1(2n1)!　　　(x欧拉公式：cosxeixeeixe2e2ixcosxisinx　　　或sinxixix三角级数：10/ 12

高等数学公式f(t)A0n1Ansin(ntaA0，an0。Ansinn)na02，bnn1(ancosnxAncosnbnsinnx)tx。在[,]其中，a0上的积分＝傅立叶级数：f(x)a02an其中bn1231241251，正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积(ancosnxn1bnsinnx)，周期0,1,21,2,34))21f(x)cosnxdx　　　(nf(x)sinnxdx　　　(n21　1228126anbn26（相加）2240，bn0，an（相减）121,2,30,1,2　f(x)　f(x)a02bnsinnx是奇函数ancosnx是偶函数正弦级数：余弦级数：f(x)sinnxdx　　nf(x)cosnxdx　　n02周期为f(x)2l的周期函数的傅立叶级数：a02an1l1lln1lnx(ancoslnxlnxlnxbnsin)，周期ldx　　　(ndx　　　(n0,1,21,2,3))2lf(x)cosl其中bnf(x)sinl微分方程的相关概念：一阶微分方程：g(y)dyyf(x,y)　或　P(x,y)dx：一阶微分方程可以化G(y)F(x)dydxQ(x,y)dy为g(y)dy0f(x)dx的形式，解法：可分离变量的微分方程f(x)dx　　得：C称为隐式通解。f(x,y)dxx(x,y)，即写成du(u)uyx的函数，解法：yx代替u，齐次方程：一阶微分方设uyx，则dydxux程可以写成dudx，ududx(u)，分离变量，积分后将即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：1、一阶线性微分方程：当Q(x)当Q(x)dydxP(x)yyCeynQ(x)P(x)dx0时,为齐次方程，0时，为非齐次方程，dydxP(x)yP(x)dxP(x)dx(Q(x)e0,1)dxC)e2、贝努力方程：Q(x)y，(n11/ 12

高等数学公式全微分方程：如果P(x,y)dxdu(x,y)u(x,y)Q(x,y)dy0中左端是某函数的全微0，其中：通解。ux分方程，即：P(x,y)，uyQ(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dyC应该是该全微分方程的二阶微分方程：dydx22P(x)dydxqyQ(x)yf(x)，f(x)f(x)0时为齐次0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)ypy0，其中p,q为常数；()r2求解步骤：1、写出特征方程：2、求出(prr1,r2q0，其中r，r的系数及常数项恰好是2(*)式中y,y,y的系数；)式的两个根3、根据r1,r2的不同情况，按下表写r1，r2的形式两个不相等实根出(*)式的通解：(*)式的通解(p224q4q4q0)0)0)yyyc1e(c1xr1xc2er2x两个相等实根(p一对共轭复根(pc2x)er1x2e(c1cosxc2sinx)r1i，r2p，24q2ip20二阶常系数非齐次线性微分方程yf(x)f(x)pyxxqyf(x)，p,q为常数ePm(x)型，为常数；e[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型12/ 12