江苏专转本高数必会公式(最全!)

2024年2月8日发(作者：)

江苏专转本高等数学必会公式导数公式：　(tgx)¢=sec2x(ctgx)¢=-csc2x(secx)¢=secx×tgx(cscx)¢=-cscx×ctgx(ax)¢=axlna(logax)¢=基本积分表：　(arcsinx)¢=11xlna1-x21(arccosx)¢=-1-x21(arctgx)¢=1+x21(arcctgx)¢=-1+x2òtgxdx=-lncosx+Còctgxdx=lnsinx+Còsecxdx=lnsecx+tgx+Còcscxdx=lncscx-ctgx+C1dxxarctg=+Còa2+x2aa1dxx-aln=òx2-a22ax+a+C1a+xdx=òa2-x22alna-x+Cdxxarcsin=+Còa2-x2ap2ndx2òcos2x=òsecxdx=tgx+Cdx2òsin2x=òcscxdx=-ctgx+Còsecx×tgxdx=secx+Còcscx×ctgxdx=-cscx+Caxòadx=lna+Cxòshxdx=chx+Còchxdx=shx+Còdxx2±a2=ln(x+x2±a2)+Cp2In=òsinxdx=òcosnxdx=00n-1In-2nòòòx2a22x+adx=x+a+ln(x+x2+a2)+C22x2a2222x-adx=x-a-lnx+x2-a2+C22x2a2x222a-xdx=a-x+arcsin+Ca2222三角函数的有理式积分：　2du2u1-u2x

sinx=，　cosx=，　u=tg，　dx=21+u21+u21+u2第 1 页 共 15 页

江苏专转本高等数学必会公式一些初等函数：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　两个重要极限：　ex-e-x双曲正弦:shx=2ex+e-x双曲余弦:chx=2shxex-e-x=双曲正切:thx=chxex+e-xarshx=ln(x+x2+1）archx=±ln(x+x2-1)11+xarthx=ln21-x三角函数公式：　·诱导公式：　 函数

角A

-α

90°-α

90°+α

180°-α

180°+α

270°-α

270°+α

360°-α

360°+α

sinx　lim=1x®0　x　1xlim(1+)=e=®¥　x　　　　　　　　sin cos tg

-tgα

ctg

-ctgα -sinα cosα

cosα

cosα

sinα ctgα tgα

-sinα -ctgα -tgα

-ctgα

ctgα

sinα -cosα -tgα

-sinα -cosα tgα

-cosα -sinα ctgα tgα

-cosα sinα -ctgα -tgα

-sinα cosα

sinα cosα

-tgα

tgα

-ctgα

ctgα

·和差角公式：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　·和差化积公式：　sin(a±b)=sinacosb±cosasinbcos(a±b)=cosacosbmsinasinbtga±tgbtg(a±b)=1mtga×tgbctga×ctgbm1ctg(a±b)=ctgb±ctga

22a+ba-bsina-sinb=2cossin22a+ba-bcosa+cosb=2coscos22a+ba-bcosa-cosb=2sinsin22sina+sinb=2sina+bcosa-b第 2 页 共 15 页

江苏专转本高等数学必会公式·倍角公式：　sin2a=2sinacosacos2a=2cos2a-1=1-2sin2a=cos2a-sin2actg2a-1ctg2a=2ctga2tgatg2a=1-tg2a

·半角公式：　sin3a=3sina-4sin3acos3a=4cos3a-3cosa3tga-tg3atg3a=1-3tg2asintga2=±=±1-cosaa1+cosa　　　　　　　　　　　　cos=±2221-cosa1-cosasinaa1+cosa1+cosasina==　　ctg=±==1+cosasina1+cosa21-cosasina1-cosaabc===2R ·余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC

sinAsinBsinCa2

·正弦定理：

·反三角函数性质：arcsinx=p2-arccosx　　　arctgx=p2-arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹（Ｌｅｉｂｎｉｚ）公式：　(uv)(n)k(n-k)(k)=åCnuvk=0n=u(n)v+nu(n-1)v¢+n(n-1)(n-2)n(n-1)L(n-k+1)(n-k)(k)uv¢¢+L+uv+L+uv(n)2!k!

中值定理与导数应用：　拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=f¢(x)(b-a)f(b)-f(a)f¢(x)=柯西中值定理：F(b)-F(a)F¢(x)曲率：　

当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。第 3 页 共 15 页

江苏专转本高等数学必会公式弧微分公式：ds=1+y¢2dx,其中y¢=tgaK=平均曲率：:从M点到M¢点，切线斜率的倾角变化量；Ds：MM¢弧长。Dsy¢¢daDa

M点的曲率：K=lim==.23Ds®0Dsds(1+y¢)直线：K=0;1半径为a的圆：K=.a定积分的近似计算：　b矩形法：òf(x)»abb-a(y0+y1+L+yn-1)nb-a1[(y0+yn)+y1+L+yn-1]n2b-a[(y0+yn)+2(y2+y4+L+yn-2)+4(y1+y3+L+yn-1)]3n

梯形法：òf(x)»ab抛物线法：òf(x)»a定积分应用相关公式：　功：W=F×s水压力：F=p×Amm引力：F=k122,k为引力系数

rb1函数的平均值：y=f(x)dxb-aòa12f(t)dt均方根：b-aòa空间解析几何和向量代数：　b第 4 页 共 15 页

江苏专转本高等数学必会公式空间2点的距离：d=M1M2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2PrjuAB=AB×cosj,j是AB与u轴的夹角。向量在轴上的投影：vvvvPrju(a1+a2)=Prja1+Prja2vvvva×b=a×bcosq=axbx+ayby+azbz,是一个数量,cosq=两向量之间的夹角：ivvvc=a´b=axbxjaybyaxbx+ayby+azbzax+ay+az×bx+by+bz222222kvvvvvvaz,c=a×bsinq.例：线速度：v=w´cyazvvvbz=a´b×ccosa,a为锐角时，

czaxvvvvvv[abc]=(a´b)×c=bx向量的混合积：cx代表平行六面体的体积。平面的方程：v1、点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，其中n={A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0xyz3、截距世方程：++=1abc平面外任意一点到该平面的距离：d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2ìx=x0+mtx-xy-y0z-z0vï空间直线的方程：0===t,其中s={m,n,p};参数方程：íy=y0+ntmnpïz=z+pt0î二次曲面：x2y2z21、椭球面：2+2+2=1abcx2y22、抛物面：+,p,q同号）=z（2p2q3、双曲面：x2y2z2单叶双曲面：2+2-2=1abcx2y2z21双叶双曲面：2-2+2=（马鞍面）abc

多元函数微分法及应用　

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江苏专转本高等数学必会公式全微分：dz=¶z¶z¶u¶u¶udx+dy　　　du=dx+dy+dz¶x¶y¶x¶y¶z全微分的近似计算：Dz»dz=fx(x,y)Dx+fy(x,y)Dy多元复合函数的求导法：dz¶z¶u¶z¶v×+×　z=f[u(t),v(t)]　　　=dt¶u¶t¶v¶t¶z¶z¶u¶z¶vz=f[u(x,y),v(x,y)]　　　=　×+׶x¶u¶x¶v¶x当u=u(x,y)，v=v(x,y)时，du=¶u¶u¶v¶vdx+dy　　　dv=dx+dy　¶x¶y¶x¶y隐函数的求导公式：FFdyFx¶dyd2y¶隐函数F(x,y)=0，　　=-，　　2=(-x)＋(-x)׶xFy¶yFydxdxFydxFyFx¶z¶z隐函数F(x,y,z)=0，　=-，　　=-¶xFz¶yFz¶FìF(x,y,u,v)=0¶(F,G)¶u隐函数方程组：　　　==Jí¶G¶(u,v)îG(x,y,u,v)=0¶u¶u¶v1¶(F,G)1¶(F,G)　　　　=-×=-׶x¶xJ¶(x,v)J¶(u,x)¶u¶v1¶(F,G)1¶(F,G)　　　　=-×=-׶y¶yJ¶(y,v)J¶(u,y)微分法在几何上的应用：　

¶F¶v=Fu¶GGu¶vFvGv

ìx=j(t)x-xy-y0z-z0ï空间曲线íy=y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：0==¢¢jyw¢(t0)tt()()00ïz=w(t)î在点M处的法平面方程：j¢(t0)(x-x0)+y¢(t0)(y-y0)+w¢(t0)(z-z0)=0ìvFyFzFzFxFxïF(x,y,z)=0若空间曲线方程为：则切向量T=,{,,íGGGxGxïyzGzîG(x,y,z)=0曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0)，则：v1、过此点的法向量：n={Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}x-x0y-y0z-z0==3、过此点的法线方程：Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：

Fy}Gy2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0第 6 页 共 15 页

江苏专转本高等数学必会公式¶f¶f¶f函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：=cosj+sinj¶l¶x¶y其中j为x轴到方向l的转角。¶fv¶fvj函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=i+¶x¶y

vv¶fvv它与方向导数的关系是：=gradf(x,y)×e，其中e=cosj×i+sinj×j，为l方向上的¶l单位向量。¶f是gradf(x,y)在l上的投影。¶l多元函数的极值及其求法：

设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，令：fxx(x0,y0)=A,　fxy(x0,y0)=B,　fyy(x0,y0)=CììA<0,(x0,y0)为极大值20ACB时，->íïîA>0,(x0,y0)为极小值ïï2则：íAC-B<0时，　　　　　　无极值ïAC-B2=0时,　　　　　　　不确定ïïî重积分及其应用：　

òòf(x,y)dxdy=òòf(rcosq,rsinq)rdrdqDD¢曲面z=f(x,y)的面积A=òòDæ¶zöæ¶zö÷dxdy1+ç÷+ç÷çè¶xøè¶yø22平面薄片的重心：x=Mx=Mòòxr(x,y)dsDòòr(x,y)dsDD,　　y=MyM=òòyr(x,y)dsDòòr(x,y)dsDD

平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix=òòy2r(x,y)ds,　　对于y轴Iy=òòx2r(x,y)ds平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a>0)的引力：F={Fx,Fy,Fz}，其中：Fx=fòòDr(x,y)xds(x+y+a)2222，　　Fy=fòò3Dr(x,y)yds(x+y+a)2222，　　Fz=-faòò3Dr(x,y)xds(x+y+a)22322柱面坐标和球面坐标：

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江苏专转本高等数学必会公式ìx=rcosqïf(x,y,z)dxdydz=òòòF(r,q,z)rdrdqdz,柱面坐标：íy=rsinq,　　　òòòWWïz=zî其中：F(r,q,z)=f(rcosq,rsinq,z)ìx=rsinjcosqï2球面坐标：íy=rsinjsinq，　　dv=rdj×rsinj×dq×dr=rsinjdrdjdqïz=rcosjî2p

pr(j,q)òòòf(x,y,z)dxdydz=òòòF(r,j,q)rWW2sinjdrdjdq=òdqòdj00òF(r,j,q)r02sinjdr重心：x=1Mòòòxrdv,　　y=WW1Mòòòyrdv,　　z=WW1Mòòòzrdv，　　其中M=x=òòòrdvWWW转动惯量：Ix=òòò(y2+z2)rdv，　　Iy=òòò(x2+z2)rdv，　　Iz=òòò(x2+y2)rdv曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：ìx=j(t),　　(a£t£b),则：设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：í()yty=îòLìx=t(a

江苏专转本高等数学必会公式第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：ìx=j(t)设L的参数方程为í，则：yyt()=îbòP(x,y)dx+Q(x,y)dy=aò{P[j(t),y(t)]j¢(t)+Q[j(t),y(t)]y¢(t)}dtL两类曲线积分之间的关系：òPdx+Qdy=ò(Pcosa+Qcosb)ds，其中a和b分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。¶Q¶P¶Q¶PdxdyPdxQdy-=+-)dxdy=òPdx+Qdy()(格林公式：格林公式：òòòòò¶x¶y¶x¶yDLDL¶Q¶P1=2时，得到D的面积：A=òòdxdy=òxdy-ydx当P=-y,Q=x，即：-¶x¶y2LD·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！·二元函数的全微分求积：¶Q¶P在＝时，Pdx+Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：¶x¶y(x,y)¶Q¶P＝。注意奇点，如(0,0)，应¶x¶y

u(x,y)=(x0,y0)òP(x,y)dx+Q(x,y)dy，通常设x0=y0=0。曲面积分：　22对面积的曲面积分：=++xyzxyzxyzfxyzdsf(,,)[,,(,)]1(,)(x,y)dxdyxyòòòòåDxy对坐标的曲面积分：òòP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy，其中：åòòR(x,y,z)dxdy=±òòR[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正号；åDxy

òòP(x,y,z)dydz=±òòP[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号；åDyzòòQ(x,y,z)dzdx=±òòQ[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。åDzx两类曲面积分之间的关系：òòPdydz+Qdzdx+Rdxdy=òò(Pcosa+Qcosb+Rcosg)dsåå高斯公式：

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江苏专转本高等数学必会公式

òòò(W¶P¶Q¶R)dv=òòPdydz+Qdzdx+Rdxdy=òò(Pcosa+Qcosb+Rcosg)ds++¶x¶y¶zåå高斯公式的物理意义——通量与散度：v¶P¶Q¶Rv,即：单位体积内所产生的流体质量，若divn<0,则为消失...++散度：divn=¶x¶y¶zvv通量：Aòò×nds=òòAnds=òò(Pcosa+Qcosb+Rcosg)ds，v因此，高斯公式又可写成：òòòdivAdv=òòAndsWåååå斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

òò(å¶R¶Q¶P¶R¶Q¶P)dydz+(-)dzdx+(--)dxdy=òPdx+Qdy+Rdz¶y¶z¶z¶x¶x¶yGcosb¶¶yQcosg¶¶zR

dydzdzdxdxdycosa¶¶¶¶上式左端又可写成：=òòòòxyz¶¶¶¶xååPQRP¶R¶Q¶P¶R¶Q¶P空间曲线积分与路径无关的条件：=，　=，　=¶y¶z¶z¶x¶x¶yijkv¶¶¶旋度：rotA=¶x¶y¶zPQRvvv向量场A沿有向闭曲线G的环流量：òPdx+Qdy+Rdz=òA×tdsGG常数项级数：　1-qn1+q+q+L+q=等比数列：1-q(n+1)n

1+2+3+L+n=等差数列：2111调和级数：1+++L+是发散的23n2n-1级数审敛法：　第 10 页 共 15 页

江苏专转本高等数学必会公式1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：ìr<1时，级数收敛ï设：r=limnun，则ír>1时，级数发散n®¥ïr=1时，不确定î2、比值审敛法：ìr<1时，级数收敛Uï设：r=limn+1，则ír>1时，级数发散n®¥Unïr=1时，不确定î3、定义法：sn=u1+u2+L+un;limsn存在，则收敛；否则发散。n®¥

交错级数u1-u2+u3-u4+L(或-u1+u2-u3+L,un>0)的审敛法——莱布尼兹定理：ì

ïun³un+1如果交错级数满足í，那么级数收敛且其和s£u1,其余项rn的绝对值rn£un+1。u=lim0ïîn®¥n绝对收敛与条件收敛：　(1)u1+u2+L+un+L，其中un为任意实数；(2)u1+u2+u3+L+un+L如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。

1(-1)n调和级数：ån发散，而ån收敛；1　　级数：ån2收敛；ｐ£１时发散1　　p级数：　　ånpp>1时收敛幂级数：　第 11 页 共 15 页

江苏专转本高等数学必会公式1<1x时，收敛于1-x1+x+x2+x3+L+xn+L　　x³1时，发散+a2x2+L+anxn+L，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全对于级数(3)a0+a1x　xR时发散，其中R称为收敛半径。

x=R时不定r¹0时，R=求收敛半径的方法：设lim1an+1=r，其中an，an+1是(3)的系数，则r=0时，R=+¥n®¥anr=+¥时，R=0r函数展开成幂级数：

f¢¢(x0)f(n)(x0)2(x-x0)+L+(x-x0)n+L函数展开成泰勒级数：f(x)=f(x0)(x-x0)+2!n!f(n+1)(x)

(x-x0)n+1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn=0余项：Rn=n®¥(n+1)!f¢¢(0)2f(n)(0)nx0=0时即为麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f¢(0)x+x+L+x+L2!n!一些函数展开成幂级数：

m(m-1)2m(m-1)L(m-n+1)n(-1

2n-1x3x5xsinx=x-+-L+(-1)n-1+L　　　(-¥

eix=cosx+isinx　　　或íix-ixïsinx=e-eï2î三角级数：　a0¥f(t)=A0+åAnsin(nwt+jn)=+å(ancosnx+bnsinnx)2n=1n=1其中，a0=aA0，an=Ansinjn，bn=Ancosjn，wt=x。¥

正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xLsinnx,cosnxL任意两个不同项的乘积在[-p,p]上的积分＝0。傅立叶级数：　第 12 页 共 15 页

江苏专转本高等数学必会公式a0¥f(x)=+å(ancosnx+bnsinnx)，周期=2p2n=1pì1(n=0,1,2L)ïan=òf(x)cosnxdx　　　p-pï其中íp1ïb=nxdx　　　fx(n=1,2,3L)ïnpò()sin-pî11p21+2+2+L=358　p2111+++L=24224262p21111+2+2+2+L=（相加）6234111p21-2+2-2+L=（相减）12234f(x)sinnxdx　　n=1,2,3L　f(x)=åbòp0

正弦级数：an=0，bn=余弦级数：bn=0，an=2pnsinnx是奇函数2ppò0f(x)cosnxdx　　n=0,1,2L　f(x)=a0+åancosnx是偶函数2周期为2l的周期函数的傅立叶级数：

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江苏专转本高等数学必会公式a0¥npxnpx+bnsinf(x)=+å(ancos)，周期=2l2n=1lllì1npxdx　　　(n=0,1,2L)ïan=òf(x)cosl-llï其中ílïb=1f(x)sinnpxdx　　　(n=1,2,3L)ïnlòl-lî

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：y¢=f(x,y)　或　P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy=f(x)dx的形式，解法：òg(y)dy=òf(x)dx　　得：G(y)=F(x)+C称为隐式通解。dyy=f(x,y)=j(x,y)，即写成的函数，解法：

dxxdududxduyydy设u=，则=u+x，u+=j(u)，=分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxxj(u)-ux齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：

dy1、一阶线性微分方程：+P(x)y=Q(x)dx-P(x)dx当Q(x)=0时,为齐次方程，y=Ceò当Q(x)¹0时，为非齐次方程，y=(òQ(x)eòdy2、贝努力方程：+P(x)y=Q(x)yn，(n¹0,1)dx全微分方程：

P(x)dxdx+C)eò-P(x)dx

如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全微分方程，即：¶u¶udu(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0，其中：=P(x,y)，=Q(x,y)

¶x¶yu(x,y)=C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：

f(x)º0时为齐次d2ydy

()()()PxQxyfx，++=2dxdxf(x)¹0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)y¢¢+py¢+qy=0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：(D)r2+pr+q=0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y¢¢,y¢,y的系数；2、求出(D)式的两个根r1,r2第 14 页 共 15 页

江苏专转本高等数学必会公式

3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：r1，r2的形式

两个不相等实根(p2-4q>0)

两个相等实根(p2-4q=0)

一对共轭复根(p2-4q<0)

(*)式的通解

y=c1er1x+c2er2x

y=(c1+c2x)er1x

y=eax(c1cosbx+c2sinbx)

r1=a+ib，r2=a-ib4q-p2

pa=-，b=22二阶常系数非齐次线性微分方程

y¢¢+py¢+qy=f(x)，p,q为常数f(x)=elxPm(x)型，l为常数；f(x)=elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型

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