第8讲 正切函数图像及其性质(讲义)解析版

2024年8月5日发(作者：)

第8讲 正切函数图像及其性质

知识梳理

1、正切函数的图像：

可选择











,



的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画

22



法作出正切函数的图像

y

y

x

根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数

ytanx,xR

，

0

x

且

xk







2

(kZ)

的图像，称“正切曲线”.

由正弦函数图像可知：

（1）定义域：

{x|xk





（2）值域：

R

观察：当

x

从小于

k







2

(kZ)}

，



2





kz



，

xk

时，

tanx

2

当

x

从大于



2

k





kz



，

x



2

k



时，

tanx

.

（3）周期性：

T



（4）奇偶性：

tan(x)tanx

，所以是奇函数

（5）单调性：在开区间

(



2

k



,



2

k



),kZ

内，函数单调递增.

（6）中心对称点：





k





,0



,kZ

2



2、 余切函数的图象：









ycotxtan



x



tan



x



2



2



即将

ytanx

的图象，向左平移

图象



个单位，再以

x

轴为对称轴上下翻折，即得

ycotx

的

2

由余弦函数图像可知：

（1）定义域：

{x|xk



(kZ)}

，

（2）值域：

R

（3）周期性：

T



（4）奇偶性：

tan(x)tanx

，所以是奇函数

（5）单调性：在开区间

(k



,



k



),kZ

内，函数单调递增.

（6）中心对称点：





k





,0



,kZ



2



例题解析

一、正切函数的图像

例1．（2020·全国高一课时练习）设函数

f(x)tan





x









.



33



（1）求函数

f

(

x

)的最小正周期､对称中心；

（2）作出函数

f

(

x

)在一个周期内的简图.

【答案】（1）最小正周期

3



，对称中心是











3



k



,0





kZ



；（2）答案见解析.

2



【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数

f



x



的周期，再根据正切函数

的对称中心即可得到函数

f



x



的对称中心.

（2）根据函数的解析式得到

f



x



的图象与

x

轴的交点坐标为





,0



，图象上的



7









,1,1

、



两点，再找到两侧相邻的渐近线方程，画出函数的图象即可.

44





x





T3



1

【详解】（1）

f



x



tan







，，

33



3

令



x



k



3



，

kZ

，解得

x



k



，

kZ

，

3322





3



k



,0





kZ



.

2



故对称中心为







（2）令

x



0

，解得

x



，

33

令

x



7





，解得

x

，

4

334

令



x





，解得

x

，

334

4

x



5





，解得

x

，

2

332

令

令

x







，解得

x

，

2

332



x









的图象与

x

轴的一个交点坐标为





,0



，

33



所以函数

f



x



tan



图象上的点有





7









,1



、



,1



两点，



4



4



在这个





5







5





,

xx

周期内左右两侧相邻的渐近线方程分别为和，



22

22







5





,



内的简图(如图).

22



从而得到函数

f



x



在一个周期





【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，关键点

是找出图象上的点用描点法画图象，属于中档题.

例2．（2020·全国高一课时练习）已知函数

f



x





sinx

．

cosx

（1）求函数

f



x



的定义域；

（2）用定义判断函数

f



x



的奇偶性；

（3）在







,





上作出函数

f



x



的图象．

【答案】（1）



xxk













,kZ



；（2）奇函数,见解析；(3)见解析

2



【分析】（1）根据

cosx0

,求解即可；

（2）由（1）可知

f



x



的定义域关于原点对称,判定

f



x



和

f



x



的关系,从而判定奇

偶性；

（3）将

f



x



写为分段函数,画出图象即可

【详解】（1）由

cosx0

,得

xk







2

（

kZ

）,





fx

xxk



,kZ

所以函数



的定义域是



.

2



（2）由（1）知函数

f



x



的定义域关于原点对称,

因为

f



x





sin



x



cos



x





sinx

f



x



,所以

f



x



是奇函数.

cosx





tanx,x





22

（3）

f



x







,





tanx,



x或x





22



所以

f



x



在





,



上的图象如图所示,



【点睛】本题考查函数定义域,考查奇偶性的判断,考查函数图象.

例3.作函数

ytan|x|

的图像.

【难度】★★

【答案】如图

【解析】



tanx





ytan|x|

等价于

y





tanx





x0,xk





x0,xk









2

(kZ)

2

，图像如图所示．

例4.求函数

f(x)tanxtanx

的定义域、周期、单调增区间，并画草图．

【难度】★★★

【答案】定义域：

{x|xk







,kZ}

，周期：

T



，单调增区间：

[k



,k



)

22



8

fx

() = tan(

x

) + tan(

x

)

6

4

2

ππ2πππ2π3π

例5.根据正切函数图象，写出满足下列条件的

x

的范围.

（1）

tanx0

（2）

tanx0

（3）

tanx0

（4）

tanx

【难度】★

【答案】

2

3

（1）



k



,k















,kZ

,

（2）



xxk



,kz



2



（3）



k





















,k





,kZ

,

（4）



k



,k





，kZ

2

2



3





例6.根据正切函数图像，写出使下列不等式成立的

x

值的集合：

（1）

1tanx0

（2）

tanx3

0

【难度】★★

【答案】（1）

[k







,k



),kZ

42



（2）

[k







,k



),kZ

32



例7.比较下列两数的大小

（1）

tan

2106

13



与

tan



（2）

tan



与

tan()



（3）

cot81

与

cot191

775

5

【难度】★

【答案】（1）

tan

2106

13





tan



（2）

tan





tan()



（3）

cot81



cot191

775

5

例8.函数

ysinx

与

ytanx

的图像在

[2



,2



]

上的交点有 （ ）

A.3

个

B.5

个

C.7

个

D.D.9

个

【难度】★★

【答案】

B

【巩固训练】

1．作出函数

y|tanx|

的图象.

【难度】★★

【答案】如图

2．利用图像，不等式

3tan2x1

的解集为____________.

【难度】★★

【答案】

(

k



k



,],kZ

2628

3．比较

tan







13





17







与

tan







的大小

45



【难度】★

【答案】



13





tan







4







tan

4



，



17



tan







5

2







tan

5



，

0



4



2









,ytanx在



0,



5



2



内单调递增.

tan



4

tan

2



2





13



17



,tantan,即tan









tan









545



4



5



4．若

f(x)tan(x

【难度】★★



4

试比较

f(1),f(0),f(1)

，并按从小到大的顺序排列：

_________.

)

，

【答案】

f(1)f(1)f(0)

5.（2020·全国高一课时练习）设函数

f



x



tan





x









.

23



（1）求函数

f

(

x

)的最小正周期，对称中心；

（2）作出函数

f



x



在一个周期内的简图．



2



【答案】（1）

T2



，





k



,0





kZ



；（2）图象见解析



3





x









的周期，再



23



【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数

f



x



tan



根据正切函数的对称中心即可得到函数

f



x



tan





x









的对称中心.

23



（2）首先根据函数的解析式得到数

f



x



tan





x









的图象与

x

轴的一个交点坐标为



23





5





2





,0

xx

，在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为和，再画出函数



3

33



的图象即可.



x





T2



1

【详解】（1）

f



x



tan







，.



23



2

令



x



k



2



，

kZ

，解得

x



k



，

kZ

，

2323



2



3





故对称中心为





k



,0





kZ



.

（2）令

2



7



x



x



0

，解得

x

，令



，解得

x

，

23234

3

6

令



5



x



x





，解得

x

，令



，解得

x

，

234232

63

令



x





，解得

x

，

232

3



2







x





,0



，





的图象与

x

轴的一个交点坐标为



23

3





所以函数

f



x



tan



在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为

x

故函数在一个周期内的函数图象为：



3

和

x

5



.

3

【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，属于中

档题.

二、正切函数的定义域及值域

1、正切函数的定义域

例1.求下列函数的定义域

（1）

ytan2x

（2）

y3tan

2

x

（3）

ycosxtanx

（4）

y

【难度】★

1

1tanx

【答案】（1）



xx







4





k



,kZ



2



（2）













k



,k





,kZ

3



3







（3）



xxR且xk









,kZ



2



（4）



xxk











4

,且xk









,kZ



2



例2．（2019·宝山区·上海交大附中高一期末）下列四个函数中，与函数

f



x



tanx

完

全相同的是（ ）

x

2

A．

y

x

1tan

2

2

2tan

C．

y

B．

y

1

cotx

1cos2x

sin2x

sin2x

1cos2x

D．

y

【答案】C

【分析】先判断函数的定义域是否相同，再通过化简判断对应关系是否相同，从而判断出

与

f



x



相同的函数.

【详解】

f



x



的定义域为



x|xk













,kZ



，

2



x





x

x

tan1k



,kZ

2tan





224

2

，因为A.

y

，所以



，



x



x



2

x



k



,kZ



k



,kZ

1tan

2



22



2



2

定义域为

{x|x2k







2

或

x2k







,kZ}

，与

f



x



tanx

定义域不相同；





xk



,kZ



cosx0

1



B.

y

，因为



，所以



，

2

cotx



sinx0





xk



,kZ

k





xx,kZ



，与

f



x



tanx

定义域不相同； 所以定义域为



2



C.

y



sin2x



，因为

1cos2x0

，所以定义域为



x|xk



,kZ



，

2

1cos2x



sin2x2sinxcosx

tanx

，所以与

f



x



tanx

相同；

1cos2x2cos

2

x

又因为

y

D.

y

1cos2x

，因为

sin2x0

，所以

2xk



,kZ

，定义域为

sin2x

k





x|x,kZ



，

2



与

f



x



tanx

定义域不相同.

故选：C.

【点睛】本题考查与三角函数有关的相同函数的判断，难度一般.判断相同函数时，首先判

断定义域是否相同，定义域相同时再去判断对应关系是否相同（函数化简），结合定义域与

对应关系即可判断出是否是相同函数.

例3．（2019·上海市大同中学高一期中）函数

yarcsinxtan2x

的定义域是________

【答案】

[1,



)(,)(,1]

4444





1x1



,

即得解. 【分析】解不等式





2xk



,kZ



2





1x1



,

【详解】由题得





2xk



,kZ



2



所以x∈

[1,



)(,)(,1]

.

4444







故函数的定义域为

[1,)(,)(,1]

4444



故答案为

[1,



)(,)(,1]

4444



【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查反三角函数和正切函数的定义域，意在考

查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

例4．（2017·上海杨浦区·复旦附中高一期中）已知函数

f



x



lg



tanx1



9x

2

，则

f



x



的定义域是____.



3









,



,



42



42



【答案】







tanx10

【分析】由意义得出



，解出该不等式组即可得出函数

yf



x



的定义域.

2



9x0



tanx10

【详解】函数

f



x



lg



tanx1



9x

，





，

2

9x0



2







k



xk







kZ





3









,



,



，





，

x





42

42



42





3x3



因此，函数

yf



x



的定义域为







3









,



,



.

2



42



4

故答案为：







3









,



,



.

42



42



【点睛】本题考查函数定义域的求解， 同时也涉及了正切不等式的求解，考查运算求解能

力，属于中等题.

例5.求函数

y

lg(tanx3)



【难度】★★

【答案】

(k





2cosx3

的定义域．



,k



),kZ

32







tanx3



【解析】



2cosx30

由此不等式组作图：







xk



,kZ

2

∴

(k







,k



),kZ

32



【巩固训练】

1．函数

ytan



x











的定义域为__________

4



【难度】★

【答案】



xxk













,kZ



4



2．与函数

ytan(2x



4

)

的图象不相交的一条直线是

（ ）

A.

x



2

B.

x



2

C.

x



4

D.

x



8

【难度】★

【答案】

D

3．求下列函数的定义域

(1)

ysinx

1



；(2)

ytan(x)log

sinx

(2cosx1)

．

tanx

4

【难度】★★★

【答案】见解析

解：等价转化为求一个不等式组的解





sinx0





(1)



tanx0

x(2k



,2k







),xk



,(kZ)

2







xk



,(kZ)

2





x(2k



,2k



)





33



2cosx10









x(2k



,2k



)(2k



,2k







)

(2)



sinx0





22













xk



,(kZ)

xk





42





4



x(2k



,2k



)(2k



,2k



),(kZ)

．

443

注：转化过程中要注意必须是等价转换，才能保证结果既不扩大也不缩小．在求条件组的解

时，常会求角集得交集，可以画数轴，用单位圆或函数的图像，应熟练掌握这种技能．



2、正切函数的值域与最值

例1．（2016·上海浦东新区·华师大二附中高一期中）设函数

f



x





sin2xsinx

，关于

f



x



的性质，下列说法正确的是_________.

1cos2xcosx

①定义域是



xxk













,kZ



；②值域是

R

；③最小正周期是



；

2



④

f



x



是奇函数；⑤

f



x



在定义域上单调递增.

【答案】③④

【分析】先求定义域，再化简函数解析式，根据正切函数性质求值域、求周期、判断单调

性与奇偶性.

【详解】

f



x





sin2xsinx

1cos2xcosx0

1cos2xcosx

1

，

2

2cos

2

xcosx0cosx0

且

cosx

定义域是



xxk











2

,xk









,kZ



；

3



f



x





sin2xsinxsinx(2cosx1)

tanx

1cos2xcosxcosx(2cosx1)

所以

f(x)3

；

f



x



最小正周期是



；

f



x



是奇函数；

f



x



在定义域上不具有单调性

故答案为：③④

【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及函数综合性质，考查综合分析求解能力，属中档题.

例2．（2020·上海高一课时练习）求下列函数的值域：

（1）

y

1tanx







,x



,0



；

1tanx



2









2

ytanx3tanx1,x,



． （2）





34





13



,3





4



【答案】（1）

(1,1)

；（2）





【分析】（1）由定义域可得

tanx



,0



，令

ttanx

则

t



,0



，所以

y

1t2

1

，再根据幂函数的性质计算可得；

1tt1

（2）利用换元法将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得；

【详解】解：（1）因为

y

1tanx







,x



,0



，所以

tanx



,0



1tanx



2



令

ttanx

则

t



,0



所以

y

1t2

1

1tt1

12





1,0



，





0,2



，

t1t1

因为

t



,0



，所以

t1



,1



，

1

2





1,1



，即

y



1,1



t1

2

（2）因为

ytanx3tanx1,x











,



34





所以

tanx





3,1





令

mtanx

，

m





3,1



3



13



所以

yf



m



m

2

3m1



m





2



4



所以

f



m



在





2

3



3



,1



上单调递增，在



3,



上单调递减，

2





2





13



3



f









，

f



1



3

，

f3233

4



2







13



fm

所以





,3





4



即函数的值域为







13



,3



4





【点睛】本题考查正切函数的性质的应用，换元法求函数的值域，属于中档题.

例3．（2020·上海高一课时练习）求下列函数的值域：

（1）

ytan



x













,x,



；





6



26



（2）

y

2tanx1







,x



,



；

1tanx



46









,



．



33



（3）

ysec



2tan



1,









2



1533



【答案】（1）

[3,3]

；（2）



,

（3）

[1,523]



；

22



【分析】（1）首先令

tx

值域.

（2）首先令

ttanx

，得到

y



6

，得到

ytant

，再根据

ytant

的单调性即可得到函数的

2t13

2

，再根据函数的单调性即可得到值域.

1t1t

（3）首先将函数化简为

ytan



2tan



2

，令

ttan



，得到

yt2t2

，再

利用二次函数的性质即可求出函数的值域.

22

【详解】（1）令

tx



6

，因为

x

















,



，所以

t



,



，



33





26









又

ytant

在

t



,



上为增函数，所以所求函数值域为

[3,3]

．



33





3









x,

t1,

（2）令

ttanx

，因为



．



，所以



3



46







2t12(t1)333



y2,t



1,



．

1t1t1t3





3



3

在

t



1,



为增函数，

3

1t



因为

y1t

为减函数，所以

y

即：

y2



3



3

t1,

在



上为增函数，

3

1t



所以

y

min

3533

31

y

max

2

2

，

2

.

3

22

1

3



1533



所以函数的值域为



,



．

22



1sin

2



cos

2



（3）

y2tan



1=2tan



1tan

2



2tan



2

．

22

cos



cos









ttan



,



,



，所以

t[3,3]

． 令





33



yt

2

2t2(t1)

2

1,t[3,3]

．

当

t1

时，

y

min

1

，当

t3

时，

y

max

523

.

所以函数的值域为

[1,523]

．

【点睛】本题主要考查正切函数的值域问题，利用换元法求值域为解决本题的关键，属于

中档题.

例4.函数

y2tan



x











,x0,



的值域为





12



4







【难度】★

【答案】

423,23



例5.若

x





1







,



，

求函数

y2tanx1

的最值及相应的

x

值；

.

2

34

cosx



【难度】★★

【答案】

x



4

时，

y

min

1

；

x

2



4

时，

y

max

5

例6.已知

ytanxatanx

，当

x[0,

【难度】★



1

],a[0,]

时，函数

y

max

2

，求实数

a

的值.

34

【答案】

a

32

3

例7.求函数

y

【难度】★★

【答案】

(0,5]

5

的值域.

2tan

2

x4tanx3

【巩固训练】

1．求函数

ysinxtanx,x[



,]

的值域

44

【难度】★★

【答案】

[

22

1,1]

22

2．求函数

y

2

的最大值，并求当函数取得最大值时，自变量

x

的集合.

2

1(tanx1)

【难度】★★

【答案】

y

max

2

，此时

x



xx









k



,kZ



4



3．已知

ytanx2tanx3

，求它的最小值

2

【难度】★★

【答案】当

tanx1

时，

y

min

2

4．函数

ytanx4tanx1

的值域为____________

【难度】★

【答案】



5,



【解析】令

ttanx

则转化为

t

的二次函数求最值。

2

三、正切函数的性质

1、正余切函数的周期性

例1．（2016·上海浦东新区·高一期末）下列四个函数中，以



为最小正周期，且在区间









,





上为减函数的是（ ）



2



A．

ycosx

2

B．

y2sinx



1



C．

y





3



cosx

D．

ycotx

【答案】B

【分析】分别求出四个选项中函数的周期，排除选项后，再通过函数的单调减区间找出正

确选项即可.

【详解】由题意观察选项，C的周期不是



，所以C不正确；

对于A，

ycosx

不正确；

2

1cos2x



π



，函数的周期为



，但在区间



,

π



上为增函数，故A

2



2



对于B，

y2sinx

，函数的周期为



，且在区间





π



,

π



上为减函数，故B正确；



2



对于D，

ycotx

，函数的周期为



，但在区间





π



,

π



上为增函数，故D不正确；



2



故选：B

【点睛】本题主要考查三角函数的性质，需熟记正弦、余弦、正切、余切的性质，属于基

础题.

例2．（2015·上海）下列函数中，以



为周期的偶函数是（ ）

A．

ysin2x

B．

ycos

x

2

C．

ysin

x

2

D．

ycos2x

【答案】D

试题分析：由正余弦函数周期求解公式可知

ysin2x

的周期为



，

ycos

x

的周期为

2

x

4



，

ysin

的周期为

4



，

ycos2x

的周期为



，其中

ycos2x

是偶函数

2

考点：三角函数周期性与奇偶性

例3．（2018·上海市青浦高级中学）函数

y3tan(3x

______________.



6

)

的最小正周期为

【答案】



3

【分析】利用函数

y

＝

Atan

（

ωx

+

φ

）的周期为



，得出结论．



【详解】函数

y

＝3

tan

（3

x







）的最小正周期是，

6

3

故答案为：



．

3

【点睛】本题主要考查函数

y

＝

Atan

（

ωx

+

φ

）的周期性，利用了函数

y

＝

Atan

（

ωx

+

φ

）

的周期为



．



例4．（2019·上海市向明中学高一期中）函数

ycot2x

的最小正周期为______.

【答案】



2



.



【分析】

ycot





x





的周期

T

【详解】

T



2

.故答案为



2

【点睛】本题考查三角函数的周期，属于基础题.

例5．（2020·上海高一课时练习）求下列函数的最小正周期：





ytan2x

（1）



；

3



（2）

ytanxcotx

．

【答案】（1）



；（2）



2

【分析】（1）直接利用周期公式计算得到答案.

（2）化简得到

y

2

，得到周期.

sin2x

【详解】（1）





ytan



2x



，故

T



.

2

3



k



sinxcosxsin

2

xcos

2

x2

（2）

ytanxcotx

，

x

，

kZ

，



2

cosxsinxsinxcosxsin2x

故

T

2







.

2

【点睛】本题考查了三角函数的周期，意在考查学生的计算能力和应用能力.

例6.求下列函数的周期:

（1）

ytan(3x



3

)

（2）

y

2tanx

（3）

ycotxtanx

2

1tanx

x

2

（5）

ysinx



1tanxtan

x



（4）

y



2

2

x



1tan

2

2tan

【难度】★

【答案】（1）



（2）（3）（4）



（5）



322

【巩固训练】

1．函数

y3tan(2x)

的周期为_____________.

4

【难度】★



【答案】

T



2

【解析】





f(x)3tan(2x)

3tan(2x



)

4

4

3tan[2(x)]f(x)

T

2

242

2．函数

ytan(ax

【难度】★









6

)(a0)

的最小正周期为_____________,

【答案】

T



|a|

1tan

2

x

3．函数

y

＝的周期为

1tan

2

x

【难度】★★

【答案】

T



2、正切函数的奇偶性与对称性

例1判断下列函数的奇偶性

(1)f



x



2cosxtanx

(2)f



x



x

2

tanxcot

2

x

(3)f



x





tan

2

xtanx



4



f



x



xtan2xx



5



f



x





1tanx

4

1sinxcosx

1sinxcosx

【难度】★

【答案】（1）偶函数 （2）既不是奇函数又不是偶函数；

（3）既不是奇函数又不是偶函数 （4）偶函数；

（5）定义域是



xxk











2

且xk









所以此函数是非奇非

,kZ



不关于原点对称，

4



偶函数。

例2.求函数

f(x)

【难度】★★

【解析】

T

1

的最小正周期，并判断函数的奇偶性.

tanxcotx



2

，奇函数.

例3．（2020·上海市南洋模范中学高一月考）函数

ytan



2x









的最小正周期为



4



____________，对称中心为____________.

【答案】





k



2





4





8

,0







，

kZ

.

【分析】由题意利用正切函数的周期性以及图象的对称性，得出结论.

【详解】函数

ytan





2x







4





的最小正周期

T



2

，

令

2x



k





4



k

2

，求得

x

4



8

，

可得函数的图象的对称中心为



k







4





8

,0







，

kZ

，

故答案为：





k



2

；





4





8

,0







，

kZ

.

【点睛】本题考查正切型函数的性质，属于基础题.

例4.．（2015·上海）下列结论中：

1）函数

ysin



k



x



kZ



为奇函数

2）函数

ytan

















2x

6





的图象关于点





12

,0





对称

3）函数

ycos



2x









3





的图象的一条对称轴为

x



2

3

4）若，则

cosx

2

1

5

其中正确的结论序号为____________________．

【答案】1,3,4







ysink



xsin2x

试题分析：1），因此函数是奇函数；2）



,0



代入函数





12







2



ytan



2x



不成立，因此该点不是对称中心点；3）中当

x



时函数取得最小

6



3

值，因此对称轴为

x



；4）中

2

3

tanx2

sin

2

x4cos

2

x

1

sin

2

xcos

2

x1cos

2

x

5

考点：三角函数对称性奇偶性等性质

例5.求函数

y3tan(2x

【难度】★

【答案】

(



3

)

的对称中心的坐标．

k



,0),kZ

46

k



,0),kZ

．

2

【解析】

ytanx

是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即

(

由

2x



3



k



k



,kZ

得

x,kZ

246

k



,0),kZ

46

∴对称中心坐标为

(

例6.若

ytan(2x



)

图象的一个对称中心为

(

【难度】★

【答案】







3

,0)

，若





2









2

，求



的值.



,

63

【巩固训练】

1．判断下列函数的奇偶性

（1）

f(x)tanx

【难度】★

【答案】（1）奇函数 （2）偶函数

2．判断下列函数的奇偶性

（1）

ytan(3x

【难度】★

【答案】（1）非奇非偶函数 （2）非奇非偶函数

3．函数

ytan2x

的图像关于点 成中心对称.

【难度】★

1

；（2）

f(x)2cosxtanx

；.

tanx



)

（2）

y|tan(x)|

34



【答案】





k





,0



，

kZ

.

4



4．下列坐标所表式的点中，不是函数

ytan(

x

2



6

)

的图象的对称中心的是 （ ）



4



2



5



A.

(,0)

B.

(,0)

C.

(,0)

D.

(,0)

333

3

【难度】★

【答案】

D

3、正切函数的单调性

例1．（2020·上海徐汇区·位育中学高一月考）下列函数中既是奇函数又在

(0,



)

上单调

递增的是（ ）

A．

ysinx

B．

ycosx

C．

ytanx

D．

ysin

x

2

【答案】D

【分析】根据三角函数的单调性和奇偶性逐一判断选项即可.

【详解】A.

ysinx

是奇函数，













2k



,2k





,kZ

上单调递增，A选项错误.

2



2



B.

ycosx

是偶函数，B选项错误.







ytanx

xxk



,kZ

C.是奇函数，且定义域为



，C选项错误.

2



D.

ysin

故选：D

【点睛】本题考查三角函数的定义域、单调性和奇偶性，属于基础题.

例2．（2019·上海市宜川中学高一期中）函数

ytan2x

的单调递增区间是________.

x

是奇函数，单调递增区间为







4k



,



4k





,kZ

，D选项正确.

2

【答案】（

k



k





，



），

k

∈Z．

2424

【分析】根据正切函数

y

＝tan

x

的单调增区间，令

k

π



求出不等式组的解集即可．

【详解】函数

ytan2x



2

＜

2

x

＜

k

π





，

k

∈Z；

2

令

k

π





2

＜

2

x

＜

k

π





，

k

∈Z；

2

解得

k



k



＜

x

＜

，

k

∈Z；

2424

所以函数

ytan2x

的单调递增区间是：

（

k



k





，



），

k

∈Z．

2424

故答案为：（

k



k





，



），

k

∈Z．

2424

【点评】本题考查了正切函数的单调性以及整体代换的应用问题，是基础题．

例3．（2019·上海市向明中学高一期中）函数

ytan



2x

______.











的单调递增区间为

4



【答案】





k



k



3



,

8



282





,kZ



【分析】

ytanx

的增区间是



k











2

,k











,kZ

，由此可列式求解.

2



【详解】令



2x



4

，

因为

ytan



的增区间是







k











2

,k











,kZ

，

2



所以

2x









k



,k







,kZ

，

4



22



所以

x





k



k



3





,



,kZ

.

2828





k



k



3



,

8



282





,kZ



故答案为



【点睛】本题考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.

例4.求下列函数的单调区间：

（1）

y3tan(x

【难度】★★

1

2



x



)

（2）

y3tan()

424

【答案】（1）

（2k







3



3



，2k



）kZ

（2）

(2k



,2k



),kZ

22

22

【解析】（1）令

u

1



x

，则

y3tanu

24

u

1





x

是增函数，且

ytanu

的递增区间为

u(k



,k



),kZ

24

22

所以由

k







2



1



1



xk





知：

y3tan(x)

是单调递增区间是：

24

242

（2k





3



，2k



）kZ

22

（2）因为原函数可以化为：

y3tan(



)

24



令

u

x







，则

ytanu

单调递增区间为：

u(k



,k



),kZ

24

22

k







2



1



1



xk





y3tan(x)

24

242

单调递减区间为

(2k







2

,2k





3



),kZ

2

例5.求下列函数的单调区间：

（1）

ycot(



4

2x)

（2）

y|tanx|

【难度】★★

【答案】（1）递增区间

(

3



k



k





,),kZ

（2）递减区间为

[k



,k



),kZ

2

8282

递增区间为

(k







2

,k



],kZ







,



内是减函数，则

（ ）



22



例6.已知函数

ytanwx

在





A.

0w1

B.

1w0

C.w1

D.

w1

【难度】★★

【答案】

B

例7.已知函数

y3tan(

【难度】★★

【答案】

a2,b3

x



)b,x[0,]

是增函数，值域为

[23,0]

，求

a,b

的值。

a33

例8.求函数

y





tan



x



的定义域、值域并指出它的周期性、奇偶性、单调性.

4



【难度】★★

【解析】(1)定义域

{x|xk







4

,kZ}

(2)值域：

[0,)

； (3)周期



；

(4) 在

(k





3





,k



)

上是减函数，在

(k



,k



)

上是递增函数；

4444

(5)是非奇非偶函数。

例9．（2018·上海静安区·高一期末）已知余切函数

f



x



cotx

.

（1）请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明）

（2）求证：余切函数

f



x



cotx

在区间



0,





上单调递减.

【答案】（1）奇函数；周期为



，单调递减速区间：

k



,



k1





kZ

【分析】（1）直接利用函数的性质写出结果．

（2）利用单调性的定义和三角函数关系式的变换求出结果．

【详解】（1）奇函数；周期为



，单调递减区间：

k



,



k1





kZ





（2）任取

x

1

，

x

2





0,





，

x

1

x

2

，有

cotx

2

cotx

1



cosx

2

cosx

1

sin



x

1

x

2





sinx

2

sinx

1

sinx

1

sinx

2

因为

0x

1

x

2





，所以





x

1

x

2

0

，

于是

sinx

1

x

2

0

，

sin



x

1

x

2



0

，

从而

cotx

2

cotx

1

0

，

cotx

2

cotx

1

.

因此余切函数

f



x



cotx

在区间



0,





上单调递减.

【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数关系式的应用，主要

考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

例10.设足球场宽65米，球门宽7米，当足球运动员沿边路带球突破，距底线多远处射球

门，对球门所张的角最大.（保留两位小数）

【难度】★★

【解析】

AB7

米，由球场宽

65

米，可知

AC29

米，

BC36

米，设足球运动员在边

线上的点

M

处射球门，

AMB



,AMC



，显然



越大，越有利于射门，设点

M

与底线

AC

的距离为

x

米，则

tan





2936

,tan(







)

xx

tan(







)tan



1tan(







)tan



tan



tan(











)

3629



7x77

xx





3629

x

2

3629

3629

1229

1x

xxx

当且仅当

x

3629



，即

x62932.31

时，

tan



取最大值，因为当

0





时，

x2

tan



为增函数，所以当

x32.31

9（米）时，



取最大值

【巩固训练】

1．求函数

ytan(2x

【难度】★★

【答案】

(



3

)

的单调区间．



12



k



5



k



,),kZ

2122

【解析】

ytanx,x(



2

k



,



2

k



),kZ

是增函数．

∴





2

k



2x



3





2

k



,kZ

即





12



k



5



k



x,kZ

2122

函数

ytan(2x



3

)

的单调递增区间是

(



12



k



5



k



,),kZ

2122

2．求下列函数的单调区间

（1）

y2tan(

【难度】★★

【答案】（1）



3k



2



,3k









kZ

单调递增；

x





)

（2）

ytan(3x);

366

（2）





k



k



2





,



kZ

单调递减

3939



3．下列函数中，周期为



，

且在



0,









上是单调递增函数的是 （ ）



2



C.A.

ytanx

【难度】★

B.

ysinxytanx

D.

ycosx

【答案】

C

3．下列命题中正确的是

（ ）

A.

ytanx

在第一象限单调递增

B.

在函数

ytanx

中

，

x

越大

，

y

也越大

C.

当

x0

时，总有

tanx0

D.

ytanx

的图象关于原点对称

【难度】★

【答案】

D

4．下列命题中正确的是 （ ）

A.

ycosx

在第二象限是减函数

B.

ytanx

在定义域内是增函数





C.

y|cos(2x)|

的周期是

D.

ysin|x|

是周期为

2



的偶函数

2

3

【难度】★

【答案】

C

5．函数

f(x)tanwx(w0)

的图像相邻的两支截直线

y



4

所的线段长度为



4

，

则







f



的值为 （ ）



4



A.



B.0

C.

1

D.

2

4

【难度】★★

【答案】

B

6．直线

ya

(

a

为常数

)

与正切曲线

ytan



x(



为常数，且



0)

相交的两相邻点间的

距离为（ ）

A.



B.

2





C.





D.

与

a

值有关

【难度】★★

【答案】

C

7．已知函数

ytan(2x



)

的图像过点









,0



，

则



可以是

（ ）



12





A.





6

B.



6

C.



12

D.



12

【难度】★

【答案】

A

8．在下列函数中，同时满足

：①

在



0,







②

以

2



为周期

；③

是奇函数的是（ ）



上递增；

2



x

D.

.

2

A.

ytanx

B.

ycosx

C.

ytan

ytanx

【难度】★

【答案】

C

9．求函数

ytan(3x

【难度】★★

【解析】令

t3x



3

)

的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。



3

，则由

tk







2

,

得

x

k



5



(kZ)

，

318

即函数的定义域是



xxR,且x





k



5





(kZ)



318



因为函数

ytant

的值域是R，所以

ytan(3x



3

)

的值域是

R

。

周期

T



3

ytan(3x



3

)

既不是奇函数也不是偶函数。

由

k







2

tk







2

,

得

k



k



5



x(kZ)

318318

k



k



5



,)(kZ)

上是增函数。

318318

所以函数

ytan(3x



3

)

在

(

反思总结

本节课是在学生已经掌握了正弦函数、余弦函数正切函数的图像及性质的前提下，进一

步分析和探究余切函数图像和性质及正切函数的图像和性质的应用。例题的设计上从最基本

的利用单调性比较大小出发，到函数性质的简单应用，再到单调性和周期性的变式训练，由

浅入深，层层递进，以积极发挥课堂教学的基础型和研究型功能，教师遵循“以学生为主体”

的思想，鼓励学生善于观察和发现；鼓励学生积极思考和探究；鼓励学生大胆猜想，努力营

造一个民主和谐、平等交流的课堂氛围，采取启发、对话式教学，调动学生学习的积极性，

激发学生学习的热情，使学生较开阔的思维空间，让学生积极参与教学活动，提高学生的数

学思维能力。