三角函数的求导公式推导过程是什么

2024年9月21日发(作者：)

三角函数的求导公式推导过程是什么

在单位圆上，我们将角度θ关联到圆上的点P(x,y)，其中x和y分

别对应于角度θ的余弦和正弦。以单位圆的圆心为原点，将角θ的终边

与单位圆交点的横坐标记为x，纵坐标记为y，那么根据三角定义可得到

以下关系：

x = cosθ

y = sinθ

在此基础上，我们来推导三角函数的导数公式。

1.正弦函数的导数公式：

我们首先来推导sinθ的导数。根据之前的定义，我们用两个非常接

近的角度θ和θ+h构造一个直角三角形，并计算两个三角形的纵坐标差

值：

h=2θ-2(θ+h)

=-2h

根据正弦函数的定义，我们有：

sin(θ+h) - sinθ = (-2h)/(2) = -h

再将等式两边除以h，可得：

lim(h->0) (sin(θ+h) - sinθ)/h = lim(h->0) (-h)/h = -1

所以，sinθ的导数为d(sinθ)/dθ = -1

2.余弦函数的导数公式：

我们接下来推导cosθ的导数。同样，我们使用近似的角度θ和

θ+h来构造一个直角三角形，并计算两个三角形的横坐标差值：

h=2(θ+h)-2θ

=2h

根据余弦函数的定义，我们有：

cos(θ+h) - cosθ = (2h)/(2) = h

再将等式两边除以h，可得：

lim(h->0) (cos(θ+h) - cosθ)/h = lim(h->0) h/h = 1

所以，cosθ的导数为d(cosθ)/dθ = 1

3.正切函数的导数公式：

正切函数可以用sinθ和cosθ的比值来表示：tanθ = sinθ /

cosθ。我们可以使用商规则来推导正切函数的导数公式。根据商规则，

我们有：

d(tanθ)/dθ = (d(sinθ)/dθ * cosθ - sinθ * d(cosθ)/dθ)

/ cos²θ

将正弦函数和余弦函数的导数代入，我们可以得到：

d(tanθ)/dθ = (-1 * cosθ - sinθ * 1) / cos²θ = -((cosθ

+ sinθ) / cos²θ)

所以，tanθ的导数为d(tanθ)/dθ = -((cosθ + sinθ) /

cos²θ)。

4.余切函数、正割函数和余割函数的导数公式：

余切函数、正割函数和余割函数可以分别表示为cotθ = cosθ /

sinθ，secθ = 1 / cosθ，和cscθ = 1 / sinθ。我们可以使用商规

则来推导它们的导数公式。

根据商规则，我们有：

d(cotθ)/dθ = (d(cosθ)/dθ * sinθ - cosθ * d(sinθ)/dθ)

/ sin²θ

= (-(sinθ) - cosθ * (-1)) / sin²θ

= -((cosθ - sinθ) / sin²θ)

所以，cotθ的导数为d(cotθ)/dθ = -((cosθ - sinθ) /

sin²θ)。

同理，我们可以分别计算secθ和cscθ的导数，得到：

d(secθ)/dθ = (sinθ / cos²θ) = (sinθ * secθ)

d(cscθ)/dθ = -(cosθ / sin²θ) = -(cosθ * cscθ)

综上所述，我们得到了常见的三角函数的导数公式：

d(sinθ)/dθ = cosθ

d(cosθ)/dθ = -sinθ

d(tanθ)/dθ = -((cosθ + sinθ) / cos²θ)

d(cotθ)/dθ = -((cosθ - sinθ) / sin²θ)

d(secθ)/dθ = (sinθ * secθ)

d(cscθ)/dθ = -(cosθ * cscθ)

这些公式对于计算三角函数的导数非常有用，可以应用于解决各类涉

及三角函数的导数计算问题。