三角函数的相互转换

2024年9月22日发(作者：)

【诱导公式】 常用的诱导公式有以下六组：（公式一～公式五函数名未改变， 公式

六函数名发生改变）

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：对于x轴正半轴为起点轴

而言 弧度制下的角的表示： sin（2kπ+α）=sinα （k∈Z） cos（2kπ+α）=cosα

（k∈Z） tan（2kπ+α）=tanα （k∈Z） cot（2kπ+α）=cotα （k∈Z） sec（2kπ+α）

=secα （k∈Z） csc（2kπ+α）=cscα （k∈Z） 角度制下的角的表示： sin

(α+k·360°)=sinα（k∈Z） cos(α+k·360°)=cosα（k∈Z） tan (α+k·360°)=tanα（k∈Z）

cot（α+k·360°）=cotα （k∈Z） sec（α+k·360°）=secα （k∈Z） csc（α+k·360°）

=cscα （k∈Z） 公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：对于x轴负半轴为

起点轴而言 弧度制下的角的表示： sin（π+α）=－sinα cos（π+α）=－cosα

tan（π+α）=tanα cot（π+α）=cotα sec（π+α）=－secα csc（π+α）=－cscα 角

度制下的角的表示： sin（180°+α）=－sinα cos（180°+α）=－cosα tan（180°+α）

=tanα cot（180°+α）=cotα sec（180°+α）=－secα csc（180°+α）=－cscα 公

式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）=－sinα cos（－α）

=cosα tan（－α）=－tanα cot（－α）=－cotα sec（－α）=secα csc (－α）

=－cscα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关

系： 弧度制下的角的表示： sin（π－α）=sinα cos（π－α）=－cosα tan

（π－α）=－tanα cot（π－α）=－cotα sec（π－α）=－secα csc（π－α）=cscα

角度制下的角的表示： sin（180°－α）=sinα cos（180°－α）=－cosα tan（180°

－α）=－tanα cot（180°－α）=－cotα sec（180°－α）=－secα csc（180°－α）

=cscα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关

系： 弧度制下的角的表示： sin（2π－α）=－sinα cos（2π－α）=cosα tan

（2π－α）=－tanα cot（2π－α）=－cotα sec（2π－α）=secα csc（2π－α）=

－cscα 角度制下的角的表示： sin（360°－α）=－sinα cos（360°－α）=cosα

tan（360°－α）=－tanα cot（360°－α）=－cotα sec（360°－α）=secα csc（360°

－α）=－cscα 小结：以上五组公式可简记为：函数名不变，符号看象限. 即

α+k·360°（k∈Z），﹣α，180°±α，360°－α的三角函数值，等于α的同名三角函数

值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。 公式六： π/2±α 及

3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：（⒈～⒋） ⒈ π/2+α与α的三角函数值

之间的关系 弧度制下的角的表示： sin（π/2+α）=cosα cos（π/2+α）=—sinα

tan（π/2+α）=－cotα cot（π/2+α）=－tanα sec（π/2+α）=－cscα csc（π/2+α）

=secα 角度制下的角的表示： sin（90°+α）=cosα cos（90°+α）=－sinα tan

（90°+α）=－cotα cot（90°+α）=－tanα sec（90°+α）=－cscα csc（90°+α）

=secα ⒉ π/2－α与α的三角函数值之间的关系 弧度制下的角的表示： sin

（π/2－α）=cosα cos（π/2－α）=sinα tan（π/2－α）=cotα cot（π/2－α）=tanα

sec（π/2－α）=cscα csc（π/2－α）=secα 角度制下的角的表示：

sin (90°－α)=cosα cos (90°－α)=sinα tan (90°－α)=cotα cot (90°－α)=tanα

sec (90°－α)=cscα csc (90°－α)=secα

⒊ 3π/2+α与α的三角函数值之间的关系 弧度制下的角的表示： sin（3π/2+α）

=－cosα cos（3π/2+α）=sinα tan（3π/2+α）=－cotα cot（3π/2+α）=－tanα sec

（3π/2+α）=cscα csc（3π/2+α）=－secα 角度制下的角的表示： sin（270°+α）

=－cosα cos（270°+α）=sinα tan（270°+α）=－cotα cot（270°+α）=－tanα sec

（270°+α）=cscα csc（270°+α）=－secα

⒋ 3π/2－α与α的三角函数值之间的关系 弧度制下的角的表示： sin（3π/2

－α）=－cosα cos（3π/2－α）=－sinα tan（3π/2－α）=cotα cot（3π/2－α）=tanα

sec（3π/2－α）=－cscα csc（3π/2－α）=－secα 角度制下的角的表示： sin（270°

－α）=－cosα cos（270°－α）=－sinα tan（270°－α）=cotα cot（270°－α）

=tanα sec（270°－α）=－cscα csc（270°－α）=－secα 温馨提示：1.在做题目

的时候，只能将α看成是锐角，才能用口诀。 2.k∈Z

总结记忆：奇变偶不变，符号看象限。(α看锐角）奇偶是针对k而言的，变与不

变是针对三角函数名而言。

诱导公式记忆口诀

※规律总结※

上面这些诱导公式可以概括为： 对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值， ①当k是

偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k是奇数时，得到α相应的余

函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变） 然后在前面加上

把α看成锐角时原函数值的符号。 （符号看象限） 例如： sin(2π－α)=sin(4·π/2

－α)，k=4为偶数，所以取sinα。 当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)<0，

符号为“－”。 所以sin(2π－α)=－sinα 上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符

号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α

所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变；符号看象限。 # 各

种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦(余割)；三两切；

四余弦(正割)”． 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三

角函数值都是“+”； 第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”； 第三象限内

切函数是“+”，弦函数是“－”； 第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”． 上

述记忆口诀,一全正,二正弦,三两切,四余弦 # 还有一种按照函数类型分象限定正

负：

函数类型

正弦

余弦

正切

余切

第一象限

+

+

+

+

第二象限

+

—

—

—

第三象限

—

—

+

+

第四象限

—

+

—

—

奇变偶不变，符号看象限