空间曲线曲面以及梯散旋度

空间曲线曲面以及梯散旋度

空间曲线与切线

注意，说的是空间，那就涉及到三个变量。

（1）参数方程

{ x = x ( t ) , y = y ( t ) , z = z ( t ) , t ∈ I begin{cases}x= x(t),\y=y(t),\z=z(t), end{cases} t in I ⎩ ⎨ ⎧​x=x(t),y=y(t),z=z(t),​t∈I

在点 p ( x 0 , y 0 , z 0 ) , ( 即 t = t 0 ) p(x_0,y_0,z_0),(即t = t_0) p(x0​,y0​,z0​),(即t=t0​)处的切向量 τ = ( x ′ ( t 0 ) , y ′ ( t 0 ) , z ′ ( t 0 ) ) boldsymbol{tau} = (x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)) τ=(x′(t0​),y′(t0​),z′(t0​))

切线方程： x − x 0 x ′ ( t 0 ) = y − y 0 y ′ ( t 0 ) = z − z 0 z ′ ( t 0 ) frac{x-x_0}{x'(t_0)} = frac{y-y_0}{y'(t_0)} = frac{z-z_0}{z'(t_0)} x′(t0​)x−x0​​=y′(t0​)y−y0​​=z′(t0​)z−z0​​

法平面方程： x ′ ( t 0 ) ( x − x 0 ) + y ′ ( t 0 ) ( y − y 0 ) + z ′ ( t 0 ) ( z − z 0 ) = 0 x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0 x′(t0​)(x−x0​)+y′(t0​)(y−y0​)+z′(t0​)(z−z0​)=0

（2）用方程组给出

{ F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 begin{cases}F(x,y,z)=0\G(x,y,z)=0 end{cases} {F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0​

当 ∂ ( F , G ) ∂ ( y , z ) ≠ 0 ⇒ { x = x , y = y ( x ) , z = z ( x ) , frac{partial (F,G)}{partial(y,z)} neq 0quad Rightarrowquad begin{cases}x=x,\y=y(x),\z=z(x), end{cases} ∂(y,z)∂(F,G)​=0⇒⎩ ⎨ ⎧​x=x,y=y(x),z=z(x),​ 其中 ∂ ( F , G ) ∂ ( y , z ) = ∣ ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z ∂ G ∂ y ∂ G ∂ z ∣ frac{partial (F,G)}{partial(y,z)} =left| begin{array}{ccc} frac{partial F}{partial y} & frac{partial F}{partial z} \ frac{partial G}{partial y} &frac{partial G}{partial z} end{array} right| ∂(y,z)∂(F,G)​=∣ ∣​∂y∂F​∂y∂G​​∂z∂F​∂z∂G​​∣ ∣​

在 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) P(x_0,y_0,z_0) P(x0​,y0​,z0​)处切向量： τ = ( 1 , y ′ ( x 0 ) , z ′ ( x 0 ) ) boldsymbol{tau} = (1,y'(x_0),z'(x_0)) τ=(1,y′(x0​),z′(x0​))

切线方程： x − x 0 1 = y − y 0 y ′ ( x 0 ) = z − z 0 z ′ ( x 0 ) frac{x-x_0}{1} = frac{y-y_0}{y'(x_0)} = frac{z-z_0}{z'(x_0)} 1x−x0​​=y′(x0​)y−y0​​=z′(x0​)z−z0​​

法平面方程： ( x − x 0 ) + y ′ ( x 0 ) ( y − y 0 ) + z ′ ( x 0 ) ( z − z 0 ) = 0 (x-x_0)+y'(x_0)(y-y_0)+z'(x_0)(z-z_0)=0 (x−x0​)+y′(x0​)(y−y0​)+z′(x0​)(z−z0​)=0

空间曲面与法线

（1）隐式方程

F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z) = 0 F(x,y,z)=0

在点 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) P(x_0,y_0,z_0) P(x0​,y0​,z0​)处法向量： n = ( F x ′ ∣ P 0 , F y ′ ∣ P 0 , F z ′ ∣ P 0 ) boldsymbol{n} = left(F'_{x}|_{P_0}, F'_{y}|_{P_0}, F'_{z}|_{P_0} right) n=(Fx′​∣P0​​,Fy′​∣P0​​,Fz′​∣P0​​)

切平面方程： F x ′ ∣ P 0 ⋅ ( x − x 0 ) + F y ′ ∣ P 0 ⋅ ( y − y 0 ) + F z ′ ∣ P 0 ⋅ ( z − z 0 ) = 0 F'_{x}|_{P_0}cdot(x-x_0) + F'_{y}|_{P_0}cdot (y-y_0) + F'_{z}|_{P_0} cdot (z-z_0) = 0 Fx′​∣P0​​⋅(x−x0​)+Fy′​∣P0​​⋅(y−y0​)+Fz′​∣P0​​⋅(z−z0​)=0

法线方程： x − x 0 F x ′ ∣ P 0 = y − y 0 F y ′ ∣ P 0 = z − z 0 F z ′ ∣ P 0 frac{x-x_0}{F'_{x}|_{P_0}} = frac{y-y_0}{F'_{y}|_{P_0}} = frac{z-z_0}{F'_{z}|_{P_0}} Fx′​∣P0​​x−x0​​=Fy′​∣P0​​y−y0​​=Fz′​∣P0​​z−z0​​

（2）显式函数

z = f ( x , y ) ⇒ F ( x , y , z ) = f ( x , y ) − z = 0 z = f(x,y)quad Rightarrow quad F(x,y,z) = f(x,y)-z = 0 z=f(x,y)⇒F(x,y,z)=f(x,y)−z=0

在点 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) P(x_0,y_0,z_0) P(x0​,y0​,z0​)处法向量： n = ( f x ′ ( x 0 , y 0 ) , f y ′ ( x 0 , y 0 ) , − 1 ) boldsymbol{n} = left(f'_{x}(x_0,y_0), f'_{y}(x_0,y_0), -1 right) n=(fx′​(x0​,y0​),fy′​(x0​,y0​),−1)

切平面方程： f x ′ ( x 0 , y 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) + f y ′ ( x 0 , y 0 ) ⋅ ( y − y 0 ) − ( z − z 0 ) = 0 f'_{x}(x_0,y_0)cdot(x-x_0) + f'_{y}(x_0,y_0)cdot (y-y_0) - (z-z_0) = 0 fx′​(x0​,y0​)⋅(x−x0​)+fy′​(x0​,y0​)⋅(y−y0​)−(z−z0​)=0

法线方程： x − x 0 f x ′ ( x 0 , y 0 ) = y − y 0 f y ′ ( x 0 , y 0 ) = z − z 0 − 1 frac{x-x_0}{f'_{x}(x_0,y_0)} = frac{y-y_0}{f'_{y}(x_0,y_0)} = frac{z-z_0}{-1} fx′​(x0​,y0​)x−x0​​=fy′​(x0​,y0​)y−y0​​=−1z−z0​​

（3）参数方程

{ x = x ( u , v ) y = y ( u , v ) z = z ( u , v ) begin{cases} x = x(u,v)\y = y(u,v)\z=z(u,v) end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v)​

当 u = u 0 , v = v 0 u = u_0,v=v_0 u=u0​,v=v0​时，有点 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) P(x_0,y_0,z_0) P(x0​,y0​,z0​)

固定 v = v 0 ⇒ u 在 P v=v_0 Rightarrow u在P v=v0​⇒u在P的切向量： τ 1 = ( x u ′ , y u ′ , z u ′ ) ∣ P 0 boldsymbol{tau_1} = (x'_u, y'_u, z'_u)|_{P_0} τ1​=(xu′​,yu′​,zu′​)∣P0​​

固定 u = u 0 ⇒ v 在 P u=u_0 Rightarrow v在P u=u0​⇒v在P的切向量： τ 2 = ( x v ′ , y v ′ , z v ′ ) ∣ P 0 boldsymbol{tau_2} = (x'_v, y'_v, z'_v)|_{P_0} τ2​=(xv′​,yv′​,zv′​)∣P0​​

曲面的法向量垂直于 τ 1 、 τ 2 ⇒ n = τ 1 × τ 2 = ∣ i j k x u ′ y u ′ z u ′ x v ′ y v ′ z v ′ ∣ P 0 = ( A , B , C ) boldsymbol{tau_1}、boldsymbol{tau_2} Rightarrow boldsymbol{n} = boldsymbol{tau_1} times boldsymbol{tau_2} = left| begin{array}{cccc} boldsymbol{i} & boldsymbol{j} & boldsymbol{k} \ x'_u& y'_u& z'_u \ x'_v& y'_v& z'_v end{array} right|_{P_0} = (A,B,C) τ1​、τ2​⇒n=τ1​×τ2​=∣ ∣​ixu′​xv′​​jyu′​yv′​​kzu′​zv′​​∣ ∣​P0​​=(A,B,C)

切平面方程： A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 A(x-x_0) + B(y-y_0) + C (z-z_0) = 0 A(x−x0​)+B(y−y0​)+C(z−z0​)=0

法线方程： x − x 0 A = y − y 0 B = z − z 0 C frac{x-x_0}{A} = frac{y-y_0}{B} = frac{z-z_0}{C} Ax−x0​​=By−y0​​=Cz−z0​​

总结空间曲面与空间曲线

• 抓住曲面的法向量与曲线的切向量

曲线的投影

Γ = { F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 Gamma = begin{cases}F(x,y,z) = 0\G(x,y,z) = 0 end{cases} Γ={F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0​消去z即可得到在xOy的投影 { ϕ ( x , y ) = 0 z = 0 begin{cases}phi(x,y) = 0\ z= 0 end{cases} {ϕ(x,y)=0z=0​

曲线的旋转(P358)

1、绕坐标轴旋转

绕谁转，谁不动，另一个变成其和第三个的平方和开根号： 另 2 + 三 2 sqrt{另^2 + 三^2} 另2+三2 ​

具体来说：$$$$

2、绕一般直线旋转

曲线： Γ = { F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 Gamma = begin{cases}F(x,y,z) = 0\G(x,y,z) = 0 end{cases} Γ={F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0​，直线： x − x 0 m = y − y 0 n = z − z 0 p frac{x-x_0}{m} = frac{y-y_0}{n} = frac{z-z_0}{p} mx−x0​​=ny−y0​​=pz−z0​​

向量的运算

• 三向量共面： [ a b c ] = ( a × b ) ⋅ c = ⇔ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = 0 [boldsymbol{abc}] = (boldsymbol{a}timesboldsymbol{b})cdotboldsymbol{c} = Leftrightarrow left| begin{array}{ccc} a_x & a_y &a_z\b_x&b_y&b_z\ c_x&c_y&c_z end{array} right| = 0 [abc]=(a×b)⋅c=⇔∣ ∣​ax​bx​cx​​ay​by​cy​​az​bz​cz​​∣ ∣​=0

直线与平面关系（P359）

平面束方程

 假设平面1、2方程： { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , 其中 A 1 , B 1 , C 1 与 A 2 , B 2 , C 2 begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 end{cases},quad 其中A_1,B_1,C_1与A_2,B_2,C_2 {A1​x+B1​y+C1​z+D1​=0A2​x+B2​y+C2​z+D2​=0​,其中A1​,B1​,C1​与A2​,B2​,C2​不成比例。设L为两个平面的交线，则过该交线的平面束方程设为： μ ( A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 ) + λ ( A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 ) = 0 , μ , λ mu (A_1x+B_1y+C_1z+D_1) + lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2) = 0,quad mu,lambda μ(A1​x+B1​y+C1​z+D1​)+λ(A2​x+B2​y+C2​z+D2​)=0,μ,λ为参数。

 除此之外，对于具体题目，如果说过该交线的平面，但是不是平面1（2）的方程，那么就将上述的 μ mu μ（ λ lambda λ）设置为1。

点到平面的距离

点 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) P(x_0,y_0,z_0) P(x0​,y0​,z0​)到平面 A x + B y + C z + D = 0 Ax+By+Cz+D = 0 Ax+By+Cz+D=0的距离 d = ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ A 2 + B 2 + C 2 d = frac{left|Ax_0+By_0+Cz_0+Dright|}{sqrt{A^2+B^2+C^2}} d=A2+B2+C2 ​∣Ax0​+By0​+Cz0​+D∣​

直线、平面之间的关系

 抓住直线的切向量与平面的法向量，那么问题就迎刃而解了。

场论初步

方向导数（值）

 设函数 u = u ( x , y , z ) u=u(x,y,z) u=u(x,y,z)在点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0​(x0​,y0​,z0​)的领域内有定义，那么 u ( x , y , z ) u(x,y,z) u(x,y,z)在点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0​(x0​,y0​,z0​)的方向导数的定义应该是：

∂ u ∂ l ∣ P 0 = lim ⁡ t → 0 + u ( P ) − u ( P 0 ) t = lim ⁡ t → 0 + u x ′ ( P 0 ) Δ x + u y ′ ( P 0 ) Δ y + u ′ ( P 0 ) Δ z ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 + ( Δ z ) 2 = u x ′ ( P 0 ) cos ⁡ α + u y ′ ( P 0 ) cos ⁡ β + u ′ ( P 0 ) cos ⁡ γ = ( u x ′ ( P 0 ) , u y ′ ( P 0 ) , u ′ ( P 0 ) ) ⋅ ( cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ ) frac{partial u}{partial boldsymbol{l}}|_{P_0} = limlimits_{tto 0^+}frac{u(P)-u(P_0)}{t}= limlimits_{tto 0^+}frac{u'_x(P_0)Delta x + u'_y(P_0)Delta y+u'(P_0)Delta z }{sqrt{(Delta x)^2 + (Delta y)^2 + (Delta z)^2}} \= u'_x(P_0)cos alpha + u'_y(P_0)cosbeta +u'(P_0)cosgamma \= (u'_x(P_0), u'_y(P_0),u'(P_0))cdot (cos alpha,cosbeta ,cosgamma ) ∂l∂u​∣P0​​=t→0+lim​tu(P)−u(P0​)​=t→0+lim​(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2 ​ux′​(P0​)Δx+uy′​(P0​)Δy+u′(P0​)Δz​=ux′​(P0​)cosα+uy′​(P0​)cosβ+u′(P0​)cosγ=(ux′​(P0​),uy′​(P0​),u′(P0​))⋅(cosα,cosβ,cosγ)

其中， t = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 + ( Δ z ) 2 , cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ t = sqrt{(Delta x)^2 + (Delta y)^2 + (Delta z)^2}, quad cosalpha,cosbeta,cosgamma t=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2 ​,cosα,cosβ,cosγ为方向余弦。

梯度（向量）

g r a d u ∣ p 0 = ( u x ′ ( P 0 ) , u y ′ ( P 0 ) , u z ′ ( P 0 ) ) boldsymbol{grad} quad u|_{p_0} = (u'_x(P_0) , u'_y(P_0), u'_z(P_0)) gradu∣p0​​=(ux′​(P0​),uy′​(P0​),uz′​(P0​))

当梯度与方向 l l l同向时，方向导数最大，方向导数为梯度的模： ∣ g r a d u ∣ p 0 ∣ = [ u x ′ ( P 0 ) ] 2 + [ u y ′ ( P 0 ) ] 2 + [ u z ′ ( P 0 ) ] 2 left| boldsymbol{grad} quad u|_{p_0} right| = sqrt{[u'_x(P_0)]^2 + [u'_y(P_0)]^2+ [u'_z(P_0)]^2} ∣gradu∣p0​​∣=[ux′​(P0​)]2+[uy′​(P0​)]2+[uz′​(P0​)]2 ​

散度（值）

设向量场 A ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k boldsymbol{A}(x,y,z) = P(x,y,z)boldsymbol{i}+Q(x,y,z)boldsymbol{j}+R(x,y,z)boldsymbol{k} A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k

则散度定义为： d i v A = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z div boldsymbol{A} = frac{partial P}{partial x}+ frac{partial Q}{partial y} + frac{partial R}{partial z} divA=∂x∂P​+∂y∂Q​+∂z∂R​，散度为0的场叫做无源场。

旋度（向量）

设向量场 A ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k boldsymbol{A}(x,y,z) = P(x,y,z)boldsymbol{i}+Q(x,y,z)boldsymbol{j}+R(x,y,z)boldsymbol{k} A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k

则旋度为： r o t A = ∣ i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ boldsymbol{rotquad A} = left |begin{array}{ccc} boldsymbol{i} & boldsymbol{j} &boldsymbol{k} \ frac{partial}{partial x} &frac{partial}{partial y} &frac{partial}{partial z} \ P &Q &R \ end{array}right| rotA=∣ ∣​i∂x∂​P​j∂y∂​Q​k∂z∂​R​∣ ∣​，若旋度为0向量的场叫做无旋场。