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既有大小又有方向的量称为向量。
设a = ( a x , a y , a z ) =(a_x,a_y,a_z) =(ax,ay,az),b = ( b x , b y , b z ) =(b_x,b_y,b_z) =(bx,by,bz),c = ( c x , c y , c z ) =(c_x,c_y,c_z) =(cx,cy,cz),a,b,c均不是零向量。
数学上研究的是自由向量，其特点是与起点无关，简称为大家所熟悉的“向量”。
方向角与方向余弦
非零向量 a bm a a与三条坐标轴的夹角 α , β , γ alpha,beta,gamma α,β,γ称为 r bm r r的方向角。设 a = ( x , y , z ) bm a=(x,y,z) a=(x,y,z)则， cos α = x ∣ a ∣ ， cos β = y ∣ a ∣ ， cos γ = z ∣ a ∣ cos α 2 + cos β 2 + cos γ 2 = 1 ( cos α , cos β , cos γ ) = a ⃗ ∣ a ⃗ ∣ = a 0 cos alpha=frac{x}{|bm a|}，cos beta=frac{y}{|bm a|}，cos gamma=frac{z}{|bm a|}\[2ex] cos alpha^{2}+cos beta^{2}+cos gamma^{2}=1\[2ex] (cos alpha,cos beta,cos gamma)=frac{vec{a}}{|vec{a}|}=bm{a^{0}} cosα=∣a∣x，cosβ=∣a∣y，cosγ=∣a∣zcosα2+cosβ2+cosγ2=1(cosα,cosβ,cosγ)=∣a ∣a =a0 a 0 bm{a^0} a0即表示与 a ⃗ vec{a} a 同方向的单位向量。
a ⋅ b = ( a x , a y , a z ) ⋅ ( b x , b y , b z ) = a x b x + a y b y + a z b z (4.1) bm acdotbm b=(a_x,a_y,a_z)cdot (b_x,b_y,b_z)=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_ztag{4.1} a⋅b=(ax,ay,az)⋅(bx,by,bz)=axbx+ayby+azbz(4.1)
a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos θ = a ⋅ b ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 + b x 2 + b y 2 + b z 2 (4.2) bm acdotbm b=|bm a||bm b|cos theta=frac{bm a cdot bm b}{|vec a||vec b|}=frac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{sqrt{a^2_x+a^2_y+a^2_z}+sqrt{b^2_x+b^2_y+b^2_z}}tag{4.2} a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ=∣a ∣∣b ∣a⋅b=ax2+ay2+az2 +bx2+by2+bz2 axbx+ayby+azbz(4.2)公式4.2为数量积的定义式， θ theta θ为 a , b bm{a,b} a,b的夹角。
垂直 a ⋅ b = 0 quad acdot b=0 a⋅b=0
a ⊥ b ⇔ θ = π 2 ⇔ ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos θ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 (4.3) quadbm aperp bm b Leftrightarrow theta=frac{pi}{2}Leftrightarrow|vec a||vec b|cos theta=0Leftrightarrow a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=0tag{4.3} a⊥b⇔θ=2π⇔∣a ∣∣b ∣cosθ=0⇔axbx+ayby+azbz=0(4.3)
投影
P r j b a = a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ b ⃗ ∣ = a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2 (4.4) Prj_ba=frac{vec a cdot vec b}{|vec b|}=frac{vec a cdot vec b}{|vec a||vec b|}=frac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{sqrt{b^2_x+b^2_y+b^2_z}}tag{4.4} Prjba=∣b ∣a ⋅b =∣a ∣∣b ∣a ⋅b =bx2+by2+bz2 axbx+ayby+azbz(4.4)称为a在b上的投影。
a × b = ( i j k a x a y a z b x b y b z ) (4.5) bm{a}times bm{b}=left(begin{matrix} bf{i} & bf{j} & bf{k} \a_x & a_y & a_z \b_x & b_y & b_z end{matrix}right)tag{4.5} a×b= iaxbxjaybykazbz (4.5)其中 ∣ a × b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin θ |bm{a}timesbm{b}|=|bm{a}||bm{b}|sin theta ∣a×b∣=∣a∣∣b∣sinθ,用右手规则确定方向（转向角不超过 π pi π), θ theta θ为 a , b bm{a,b} a,b的夹角。
平行 a × b = 0 quadbm{a}timesbm{b}=0 a×b=0
a / / b ⇔ θ = 0 或 π ⇔ a x b x = a y b y = a z b z bm{a}//bm{b}Leftrightarrowtheta=0或pi Leftrightarrow frac{a_x}{b_x}=frac{a_y}{b_y}=frac{a_z}{b_z} a//b⇔θ=0或π⇔bxax=byay=bzaz
①公式： [ a b c ] = ( a × b ) ⋅ c = ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ [bold{abc}]=(bold{a}timesbold{b})cdotbold{c}=left| begin{array}{} a_x & a_y & a_z \ b_x & b_y & b_z \ c_x & c_y & c_z end{array}right| [abc]=(a×b)⋅c= axbxcxaybycyazbzcz
②三向量共面 ⟺ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = 0 Longleftrightarrowleft| begin{array}{} a_x & a_y & a_z \ b_x & b_y & b_z \ c_x & c_y & c_z end{array}right|=0 ⟺ axbxcxaybycyazbzcz =0
③根据行列式性质2
互换行列式的两行（或列），行列式变号。
3个向量进行混合积运算，其行列式的三行即为3个向量的坐标（x,y,z）,不同只在于3个向量所在位置不同，换行两次即可实现完全相同，故可以推断出以下公式：
( a × b ) ⋅ c = ( b × c ) ⋅ a (bold{a}timesbold{b})cdotbold{c}=(bold{b}timesbold{c})cdotbold{a} (a×b)⋅c=(b×c)⋅a
同样的还有：
( c × a ) ⋅ b = ( a × b ) ⋅ c (bold{c}timesbold{a})cdotbold{b}=(bold{a}timesbold{b})cdotbold{c} (c×a)⋅b=(a×b)⋅c
（1） a ⃗ vec{a} a 与x轴、y轴、z轴的正向的夹角 α 、 β 、 γ alpha 、beta、gamma α、β、γ称为 a ⃗ vec{a} a 的方向角。
（2） cos α 、 cos β 、 cos γ cos alpha 、cos beta 、cos gamma cosα、cosβ、cosγ称为 a ⃗ vec{a} a 的方向余弦，且 cos α = a x a , cos β = a y a , cos γ = a z a cos alpha=frac{a_x}{bm{a}},cos beta =frac{a_y}{bm{a}},cos gamma=frac{a_z}{bm{a}} cosα=aax,cosβ=aay,cosγ=aaz。
（3） a 0 = a ∣ a ∣ = ( cos α , cos β , cos γ ) bm{a}^0=frac{bm{a}}{|bm{a}|}=(cos alpha ,cos beta,cos gamma) a0=∣a∣a=(cosα,cosβ,cosγ)称为向量 a ⃗ vec{a} a 的单位向量（表示方向的向量）。
（4）任意向量 r = x i + y j + z k = ( r cos α , r cos β , r cos γ ) = r ( cos α , cos β , cos γ ) bm{r}=xbm{i}+ybm{j}+zbm{k}=(rcos alpha ,rcos beta,rcos gamma)=r(cos alpha ,cos beta,cos gamma) r=xi+yj+zk=(rcosα,rcosβ,rcosγ)=r(cosα,cosβ,cosγ)，其中 cos α , cos β , cos γ displaystyle cos alpha ,cos beta,cos gamma cosα,cosβ,cosγ为 r bm{r} r的方向余弦，r为 r bm{r} r的模， cos α = x x 2 + y 2 + z 2 , cos β = y x 2 + y 2 + z 2 , cos γ = z x 2 + y 2 + z 2 , r = x 2 + y 2 + z 2 cos alpha =frac{x}{sqrt{x^2+y^2+z^2}},cos beta=frac{y}{sqrt{x^2+y^2+z^2}},cos gamma=frac{z}{sqrt{x^2+y^2+z^2}},bm{r}=sqrt{x^2+y^2+z^2} cosα=x2+y2+z2 x,cosβ=x2+y2+z2 y,cosγ=x2+y2+z2 z,r=x2+y2+z2 。
以下假设平面的法向量 n = ( A , B , C ) bm{n}=(A,B,C) n=(A,B,C)，平面的方程为以下四种：
①一般式： A x + B y + C z + D = 0 Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0
②点法式： A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 displaystyle A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0
③三点式: ∣ x − x 1 y − y 1 z − z 1 x − x 2 y − y 2 z − z 2 x − x 3 y − y 3 z − z 3 ∣ = 0 left|begin{array}{} x-x_1 & y-y_1 &z-z_1\ x-x_2 & y-y_2 &z-z_2\ x-x_3 & y-y_3 &z-z_3 end{array}right|=0 x−x1x−x2x−x3y−y1y−y2y−y3z−z1z−z2z−z3 =0(平面过不共线的三点 P ( x i , y i , z i ) , i = 1 , 2 , 3 bm{P}(x_i,y_i,z_i),i=1,2,3 P(xi,yi,zi),i=1,2,3)
注释：设 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z)为平面 π pi π上任一点，则 P P 1 → , P P 2 → , P P 3 → , overrightarrow{PP_1},overrightarrow{PP_2},overrightarrow{PP_3}, PP1 ,PP2 ,PP3 ,三个向量共面，则其混合积 ( P P 1 → × P P 2 → ) ⋅ P P 3 → = 0 , (overrightarrow{PP_1}timesoverrightarrow{PP_2})cdotoverrightarrow{PP_3}=0, (PP1 ×PP2 )⋅PP3 =0,可得三点式平面方程。
④截距式： x a + y b + z c = 1 displaystylefrac{x}{a}+frac{y}{b}+frac{z}{c}=1 ax+by+cz=1（平面过 ( a , 0 , 0 ) , ( 0 , b , 0 ) , ( 0 , 0 , c ) (a,0,0),(0,b,0),(0,0,c) (a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)三点）
⑤平面族方程
通过直线 l : { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 l:begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 end{cases} l:{A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0的平面族方程为 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + λ ( A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 ) = 0 A_1x+B_1y+C_1z+D_1+lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0 A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0其中平面 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 A2x+B2y+C2z+D2=0不在平面族方程内。
以下假设直线的方向向量 τ = ( l , m , n ) tau=(l,m,n) τ=(l,m,n)。
①一般式： { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , n 1 = ( A 1 , B 1 , C 1 ) , A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , n 2 = ( A 2 , B 2 , C 2 ) , begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,bm{n}_1=(A_1,B_1,C_1),\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,bm{n}_2=(A_2,B_2,C_2), end{cases} {A1x+B1y+C1z+D1=0,n1=(A1,B1,C1),A2x+B2y+C2z+D2=0,n2=(A2,B2,C2),其中 n 1 bm{n}_1 n1不平行于 n 2 bm{n}_2 n2。
(一般式是由两个平面相交产生的直线，两个等式分别对应两个平面公式)
②点向式： x − x 0 l = y − y 0 m = z − z 0 n displaystylefrac{x-x_0}{l}=frac{y-y_0}{m}=frac{z-z_0}{n} lx−x0=my−y0=nz−z0
③参数式： { x = x 0 + l t y = y 0 + m t z = z 0 + n t displaystylebegin{cases} x=x_0+lt\ y=y_0+mt\ z=z_0+nt end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x=x0+lty=y0+mtz=z0+nt, M ( x 0 , y 0 , z 0 ) M(x_0,y_0,z_0) M(x0,y0,z0)为直线上的已知点， t t t为参数。
④两点式： x − x 1 x 2 − x 1 = y − y 1 y 2 − y 1 = z − z 1 z 2 − z 1 displaystylefrac{x-x_1}{x_2-x_1}=frac{y-y_1}{y_2-y_1}=frac{z-z_1}{z_2-z_1} x2−x1x−x1=y2−y1y−y1=z2−z1z−z1（直线过不同的两点 P i ( x i , y i , z i ) , i = 1 , 2 bm P_i(x_i,y_i,z_i),i=1,2 Pi(xi,yi,zi),i=1,2）
距离
点 P bm P P到平面 A x + B y + C z + D = 0 Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0的距离 d = ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ A 2 + B 2 + C 2 displaystyle d=frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{sqrt{A^2+B^2+C^2}} d=A2+B2+C2 ∣Ax0+By0+Cz0+D∣。
直线间的关系
设 τ 1 = ( l 1 , m 1 , n 1 ) , τ 2 = ( l 2 , m 2 , n 2 ) tau_1=(l_1,m_1,n_1),tau_2=(l_2,m_2,n_2) τ1=(l1,m1,n1),τ2=(l2,m2,n2)分别为直线 L 1 , L 2 L_1,L_2 L1,L2的方向向量。
垂直： L 1 ⊥ L 2 ⇔ τ 1 ⊥ τ 2 ⇔ l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 平行： L 1 ∥ L 2 ⇔ τ 1 ∥ τ 2 ⇔ l 1 l 2 = m 1 m 2 = n 1 n 2 displaystyle 垂直：L_1perp L_2Leftrightarrow tau_1 perp tau_2 Leftrightarrow l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2=0\[2ex] 平行：L_1parallel L_2Leftrightarrow tau_1 parallel tau_2 Leftrightarrowfrac{l_1}{l_2}= frac{m_1}{m_2}= frac{n_1}{n_2} 垂直：L1⊥L2⇔τ1⊥τ2⇔l1l2+m1m2+n1n2=0平行：L1∥L2⇔τ1∥τ2⇔l2l1=m2m1=n2n1
平面间的关系
设平面 π 1 , π 2 pi_1,pi_2 π1,π2的法向量分别为 n 1 = ( A 1 , B 1 , C 1 ) , n 2 = ( A 2 , B 2 , C 2 ) bm n_1=(A_1,B_1,C_1),bm n_2=(A_2,B_2,C_2) n1=(A1,B1,C1),n2=(A2,B2,C2)
垂直： π 1 ⊥ π 2 ⇔ n 1 ⊥ n 2 ⇔ A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0 平行： π 1 ∥ π 2 ⇔ n 1 ∥ n 2 ⇔ A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 displaystyle垂直：pi_1perp pi_2Leftrightarrow bm n_1 perp bm n_2 Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0\[2ex] 平行：pi_1parallel pi_2Leftrightarrow bm n_1 parallel bm n_2 Leftrightarrowfrac{A_1}{A_2}= frac{B_1}{B_2}= frac{C_1}{C_2} 垂直：π1⊥π2⇔n1⊥n2⇔A1A2+B1B2+C1C2=0平行：π1∥π2⇔n1∥n2⇔A2A1=B2B1=C2C1
平面与直线的关系
设直线 L L L的方向向量为 τ = ( l , m , n ) tau=(l,m,n) τ=(l,m,n),平面的法向量为 n = ( A , B , C ) bm n=(A,B,C) n=(A,B,C)
垂直： L ⊥ π ⇔ τ ∥ n ⇔ A l = B m = C n 平行： L ∥ π ⇔ τ ⊥ n ⇔ A l + B m + C n = 0 displaystyle 垂直：Lperp piLeftrightarrow tau parallel bm n Leftrightarrow frac{A}{l}= frac{B}{m}= frac{C}{n}\[2ex] 平行：Lparallel pi Leftrightarrow tau perpbm n Leftrightarrow Al+Bm+Cn=0 垂直：L⊥π⇔τ∥n⇔lA=mB=nC平行：L∥π⇔τ⊥n⇔Al+Bm+Cn=0
线线①、面面②的位置公式一一对应，而线面③的位置公式互相反转，仅记住相反的③即可。 color{#8B8989}{线线①、面面②的位置公式一一对应，而线面③的位置公式互相反转，仅记住相反的③即可。} 线线①、面面②的位置公式一一对应，而线面③的位置公式互相反转，仅记住相反的③即可。
①一般式： Γ : { F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 Gamma :begin{cases} F(x,y,z)=0\ G(x,y,z)=0 end{cases} Γ:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0其几何背景为两个曲面的交线。
②参数方程： Γ : { x = φ ( t ) , y = ψ ( t ) , z = ω ( t ) , t ∈ [ α , β ] Gamma :begin{cases} x=varphi(t),\ y=psi(t),\ z=omega(t), end{cases}tin[alpha,beta] Γ:⎩ ⎨ ⎧x=φ(t),y=ψ(t),z=ω(t),t∈[α,β]
③空间曲线在坐标面上的投影
以求曲线 Γ Gamma Γ在平面上的投影曲线为例：
将 Γ : { F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 Gamma: begin{cases} F(x,y,z)=0\ G(x,y,z)=0 end{cases} Γ:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0中的 z z z消去，得到 φ ( x , y ) = 0 varphi(x,y)=0 φ(x,y)=0,
则曲线 Γ Gamma Γ在 x O y xOy xOy面上的投影曲线包含于曲线 { φ ( x , y ) = 0. z = 0. begin{cases} varphi (x,y)=0.\ z=0. end{cases} {φ(x,y)=0.z=0.
曲线 Γ Gamma Γ在其他平面上的投影曲线可类似求得。
（1）曲面方程： F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0
（2）二次曲面
（3）柱面：动直线沿定曲线平行移动所形成的曲面
椭圆柱面 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 displaystylequadfrac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1 a2x2+b2y2=1
双曲柱面 x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 displaystylequadfrac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1 a2x2−b2y2=1
抛物柱面 y = a x 2 displaystylequad y=ax^2 y=ax2
注：在空间解析几何中，一般认为缺少变量的方程为柱面。
（4）旋转曲面（重点）：曲线 Γ Gamma Γ绕一条定直线旋转一周所形成的曲面。
曲线 Γ : { F ( x , y , z ) = 0 , G ( x , y , z ) = 0 Gamma:begin{cases} F(x,y,z)=0,\ G(x,y,z)=0 end{cases} Γ:{F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0绕直线 L : x − x 0 m = y − y 0 n = z − z 0 p displaystyle L:frac{x-x_0}{m}=frac{y-y_0}{n}=frac{z-z_0}{p} L:mx−x0=ny−y0=pz−z0旋转形成一个曲面，旋转曲面的求法如下：
如图所示，已知 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) M_0(x_0,y_0,z_0) M0(x0,y0,z0)，方向向量 s ⃗ = ( m , n , p ) . vec{s}=(m,n,p). s =(m,n,p).在母线 Γ Gamma Γ上任取一点 M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) M_1(x_1,y_1,z_1) M1(x1,y1,z1)，则过 M 1 M_1 M1的维圆上的任意一点 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z)满足条件 M 1 P → ⊥ s , ∣ M 1 P → ∣ = ∣ M 0 M 1 → ∣ overrightarrow{M_1P} perp bm s,|overrightarrow{M_1P} |=|overrightarrow{M_0M_1}| M1P ⊥s,∣M1P ∣=∣M0M1 ∣,即 { m ( x − x 1 ) + n ( y − y 1 ) + p ( z − z 1 ) = 0 ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 = ( x 1 − x 0 ) 2 + ( y 1 − y 0 ) 2 + ( z 1 − z 0 ) 2 , displaystylebegin{cases} m(x-x_1)+n(y-y_1)+p(z-z_1)=0\ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2+(z_1-z_0)^2, end{cases} {m(x−x1)+n(y−y1)+p(z−z1)=0(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=(x1−x0)2+(y1−y0)2+(z1−z0)2,与方程 F ( x 1 , y 1 , z 1 ) = 0 F(x_1,y_1,z_1)=0 F(x1,y1,z1)=0和 G ( x 1 , y 1 , z 1 ) = 0 G(x_1,y_1,z_1)=0 G(x1,y1,z1)=0联立消去 x 1 , y 1 , z 1 , x_1,y_1,z_1, x1,y1,z1,便可得到旋转曲面的方程。
（1）设空间曲线 Γ Gamma Γ由参数方程 { x = φ ( t ) , y = ψ ( t ) , z = ω ( t ) begin{cases} x=varphi(t),\ y=psi(t),\ z=omega(t) end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x=φ(t),y=ψ(t),z=ω(t)给出，其中 φ ( t ) , ψ ( t ) , ω ( t ) varphi(t),psi(t),omega(t) φ(t),ψ(t),ω(t)均可导，
P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)是 Γ Gamma Γ上的点，且当 t = t 0 t=t_0 t=t0时， φ ′ ( t 0 ) , ψ ′ ( t 0 ) , ω ′ ( t 0 ) varphi^{'}(t_0),psi^{'}(t_0),omega ^{'}(t_0) φ′(t0),ψ′(t0),ω′(t0)都不为0，则
①曲线 Γ Gamma Γ在点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)处的切向量为 τ = ( φ ′ ( t 0 ) , ψ ′ ( t 0 ) , ω ′ ( t 0 ) ) tau =(varphi^{'}(t_0),psi^{'}(t_0),omega ^{'}(t_0)) τ=(φ′(t0),ψ′(t0),ω′(t0)).
②曲线 Γ displaystyleGamma Γ在点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)处的切线方程为 x − x 0 φ ′ ( t 0 ) = y − y 0 ψ ′ ( t 0 ) = z − z 0 ω ′ ( t 0 ) frac{x-x_0}{varphi^{'}(t_0)}=frac{y-y_0}{psi^{'}(t_0)}=frac{z-z_0}{omega ^{'}(t_0)} φ′(t0)x−x0=ψ′(t0)y−y0=ω′(t0)z−z0.
③曲线 Γ Gamma Γ在点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)处的法平面（过点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)且与切线垂直的平面）方程为 ψ ′ ( t 0 ) ( x − x 0 ) + φ ′ ( t 0 ) ( y − y 0 ) + ω ′ ( t 0 ) ( z − z 0 ) = 0 displaystylepsi^{'}(t_0)(x-x_0)+varphi^{'}(t_0)(y-y_0)+omega^{'}(t_0)(z-z_0)=0 ψ′(t0)(x−x0)+φ′(t0)(y−y0)+ω′(t0)(z−z0)=0
（2）设空间曲线 Γ Gamma Γ由交面式方程 { F ( x , y , z ) = 0 , G ( x , y , z ) = 0 begin{cases} F(x,y,z)=0,\ G(x,y,z)=0 end{cases} {F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0给出，则在以下表达式有意义的条件下，有
①曲线 Γ Gamma Γ在点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)处的切向量为
τ = ( ∣ F y ′ F z ′ G y ′ G z ′ ∣ P 0 , ∣ F z ′ F x ′ G z ′ G x ′ ∣ P 0 , ∣ F x ′ F y ′ G x ′ G y ′ ∣ P 0 ) . (4.19) tau =(left | begin{array}{} F^{'}_y &F^{'}_z\[2ex] G^{'}_y &G^{'}_z end{array}right|_{P_0}, left | begin{array}{} F^{'}_z &F^{'}_x\[2ex] G^{'}_z &G^{'}_x end{array}right|_{P_0}, left | begin{array}{} F^{'}_x &F^{'}_y\[2ex] G^{'}_x &G^{'}_y end{array}right|_{P_0}).tag{4.19} τ=( Fy′Gy′Fz′Gz′ P0, Fz′Gz′Fx′Gx′ P0, Fx′Gx′Fy′Gy′ P0).(4.19)②曲线 Γ Gamma Γ在点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)处的切线方程为 x − x 0 ∣ F y ′ F z ′ G y ′ G z ′ ∣ P 0 = y − y 0 ∣ F z ′ F x ′ G z ′ G x ′ ∣ P 0 = z − z 0 ∣ F x ′ F y ′ G x ′ G y ′ ∣ P 0 . (4.20) frac{x-x_0}{left |begin{array}{} F^{'}_y &F^{'}_z\[2ex] G^{'}_y &G^{'}_z end{array}right|_{P_0}}= frac{y-y_0}{left | begin{array}{} F^{'}_z &F^{'}_x\[2ex] G^{'}_z &G^{'}_x end{array}right|_{P_0}}= frac{z-z_0}{left | begin{array}{} F^{'}_x &F^{'}_y\[2ex] G^{'}_x &G^{'}_y end{array}right|_{P_0}}.tag{4.20} Fy′Gy′Fz′Gz′ P0x−x0= Fz′Gz′Fx′Gx′ P0y−y0= Fx′Gx′Fy′Gy′ P0z−z0.(4.20)③曲线 Γ Gamma Γ在点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)处的法平面方程为 ∣ F y ′ F z ′ G y ′ G z ′ ∣ P 0 （ x − x 0 ） + ∣ F y ′ F z ′ G y ′ G z ′ ∣ P 0 （ y − y 0 ） + ∣ F x ′ F y ′ G x ′ G y ′ ∣ P 0 ( z − z 0 ) = 0 (4.21) left |begin{array}{} F^{'}_y &F^{'}_z\[2ex] G^{'}_y &G^{'}_z end{array}right|_{P_0}（x-x_0）+ left |begin{array}{} F^{'}_y &F^{'}_z\[2ex] G^{'}_y &G^{'}_z end{array}right|_{P_0}（y-y_0）+ left | begin{array}{} F^{'}_x &F^{'}_y\[2ex] G^{'}_x &G^{'}_y end{array}right|_{P_0}(z-z_0)=0tag{4.21} Fy′Gy′Fz′Gz′ P0（x−x0）+ Fy′Gy′Fz′Gz′ P0（y−y0）+ Fx′Gx′Fy′Gy′ P0(z−z0)=0(4.21)
（1）设空间曲面 Σ Sigma Σ由方程 F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0给出， P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)是 Σ Sigma Σ上的点，则
①曲面 Σ Sigma Σ在点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)处的法向量（垂直于该点切平面的向量）为
n = ( F x ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) , F y ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) , F z ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) ) , bm n=(F^{'}_x(x_0,y_0,z_0),F^{'}_y(x_0,y_0,z_0),F^{'}_z(x_0,y_0,z_0)), n=(Fx′(x0,y0,z0),Fy′(x0,y0,z0),Fz′(x0,y0,z0)),且法线方程为 x − x 0 F x ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) = y − y 0 F y ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) = z − z 0 F z ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) . frac{x-x_0}{F^{'}_x(x_0,y_0,z_0)}=frac{y-y_0}{F^{'}_y(x_0,y_0,z_0)}=frac{z-z_0}{F^{'}_z(x_0,y_0,z_0)}. Fx′(x0,y0,z0)x−x0=Fy′(x0,y0,z0)y−y0=Fz′(x0,y0,z0)z−z0.
②曲面 Σ Sigma Σ在点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)处的切平面方程为 F x ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) ( x − x 0 ) + F y ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) ( y − y 0 ) + F z ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) ( z − z 0 ) = 0 F^{'}_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F^{'}_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F^{'}_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0 Fx′(x0,y0,z0)(x−x0)+Fy′(x0,y0,z0)(y−y0)+Fz′(x0,y0,z0)(z−z0)=0
（2）设空间曲面 Σ Sigma Σ由方程 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)给出，令 F ( x , y , z ) = f ( x , y ) − z F(x,y,z)=f(x,y)-z F(x,y,z)=f(x,y)−z，则
①曲面 Σ Sigma Σ在点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)处的法向量为 n = ( f x ′ ( x 0 , y 0 ) , f y ′ ( x 0 , y 0 ) , − 1 ) , bm n=(f^{'}_x(x_0,y_0),f^{'}_y(x_0,y_0),-1), n=(fx′(x0,y0),fy′(x0,y0),−1),且法线方程为 x − x 0 f x ′ ( x 0 , y 0 ) = y − y 0 f y ′ ( x 0 , y 0 ) = z − z 0 − 1 frac{x-x_0}{f^{'}_x(x_0,y_0)}=frac{y-y_0}{f^{'}_y(x_0,y_0)}=frac{z-z_0}{-1} fx′(x0,y0)x−x0=fy′(x0,y0)y−y0=−1z−z0
②曲线 Σ Sigma Σ在点 P 0 ( x 0 , y 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0,y_0) P0(x0,y0,y0)处的平面方程为 f x ′ ( x 0 , y 0 ) ( x − x 0 ) + f y ′ ( x 0 , y 0 ) ( y − y 0 ) − ( z − z 0 ) = 0 f^{'}_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f^{'}_y(x_0,y_0)(y-y_0)-(z-z_0)=0 fx′(x0,y0)(x−x0)+fy′(x0,y0)(y−y0)−(z−z0)=0【注】若用 α , β , γ alpha ,beta,gamma α,β,γ表示曲面 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)处的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即它与 z z z轴正向所成的角 γ gamma γ是锐角，则法向量的方向余弦为
cos α = − f x 1 + f x 2 + f y 2 , cos β = − f y 1 + f x 2 + f y 2 , cos γ = − 1 1 + f x 2 + f y 2 . cos alpha=frac{-f_x}{sqrt{1+f^{2}_x+f^{2}_y}},cos beta=frac{-f_y}{sqrt{1+f^{2}_x+f^{2}_y}},cos gamma=frac{-1}{sqrt{1+f^{2}_x+f^{2}_y}}. cosα=1+fx2+fy2 −fx,cosβ=1+fx2+fy2 −fy,cosγ=1+fx2+fy2 −1.
偏导数反映函数沿着坐标轴方向的变化率，不够全面，需要研究函数沿任一指定方向的变化率，即方向导数。
定义1 设三元函数 u = u ( x , y , z ) u=u(x,y,z) u=u(x,y,z)在点 P 0 ( x 0 , y 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0,y_0) P0(x0,y0,y0)的某空间邻域 U ⊂ R 3 Usubsetbm R^3 U⊂R3内有定义， l l l为从点 P 0 P_0 P0出发的射线， P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z)为 l l l上且在 U U U内的任一点，则 { x − x 0 = Δ x = t cos α , y − y 0 = Δ y = t cos β , z − z 0 = Δ z = t cos γ . begin{cases} x-x_0=Delta x=tcos alpha,\[2ex] y-y_0=Delta y=tcos beta,\[2ex] z-z_0=Delta z=tcos gamma. end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x−x0=Δx=tcosα,y−y0=Δy=tcosβ,z−z0=Δz=tcosγ.以 t = ( Δ x ) 2 + Δ y ) 2 + Δ z ) 2 t=sqrt{(Delta x)^2+Delta y)^2+Delta z)^2} t=(Δx)2+Δy)2+Δz)2 表示 P P P与 P 0 P_0 P0之间的距离，如图所示，若极限
lim t → 0 + u ( P ) − u ( P 0 ) t = lim t → 0 + u ( x 0 + t cos α , y 0 + t cos β , z 0 + t cos γ ) − u ( x 0 , y 0 , z 0 ) t lim_{tto 0^+}frac{u(P)-u(P_0)}{t}=lim_{tto 0^+}frac{u(x_0+tcos alpha,y_0+tcos beta,z_0+tcos gamma)-u(x_0,y_0,z_0)}{t} t→0+limtu(P)−u(P0)=t→0+limtu(x0+tcosα,y0+tcosβ,z0+tcosγ)−u(x0,y0,z0)存在，则称此极限为函数 u = u ( x , y , z ) u=u(x,y,z) u=u(x,y,z)在点 P 0 P_0 P0沿方向 l l l的方向导数，记作 ∂ u ∂ l ∣ P 0 . left.frac{partial u}{partial bm l}right|_{P_0}. ∂l∂u P0.
定理（方向导数的计算公式） 设三元函数 u = u ( x , y , z ) u=u(x,y,z) u=u(x,y,z)在点 P 0 ( x 0 , y 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0,y_0) P0(x0,y0,y0)处可微分，则 u = ( x , y , z ) u=(x,y,z) u=(x,y,z)在点 P 0 P_0 P0处沿任一方向 l l l的方向导数都存在，且
∂ u ∂ l ∣ P 0 = u x ′ ( P 0 ) cos α + u y ′ ( P 0 ) cos β + u z ′ ( P 0 ) cos γ (4.27) left.frac{partial u}{partial bm l}right|_{P_0}=u^{'}_x(P_0)cos alpha+u^{'}_y(P_0)cos beta+u^{'}_z(P_0)cos gammatag{4.27} ∂l∂u P0=ux′(P0)cosα+uy′(P0)cosβ+uz′(P0)cosγ(4.27)其中， cos α , cos β , cos γ cos alpha,cos beta,cosgamma cosα,cosβ,cosγ为 l l l的方向余弦。
定义2 设三元函数 u = u ( x , y , z ) u=u(x,y,z) u=u(x,y,z)在点 P 0 ( x 0 , y 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0,y_0) P0(x0,y0,y0)处有一阶偏导数，则定义 g r a d u ∣ P 0 = ( u x ′ ( P 0 ) , u y ′ ( P 0 ) , u z ′ ( P 0 ) ) left.bm{grad} ~~bm uright|_{P_0}=(u^{'}_x(P_0),u^{'}_y(P_0),u^{'}_z(P_0)) grad u∣P0=(ux′(P0),uy′(P0),uz′(P0))为函数 u = u ( x , y , z ) u=u(x,y,z) u=u(x,y,z)在点 P 0 P_0 P0处的梯度。
由方向导数的计算公式4.27与梯度定义可得 ∂ u ∂ l ∣ P 0 = ( u x ′ ( P 0 ) + u y ′ ( P 0 ) + u z ′ ( P 0 ) ) ⋅ ( cos α , cos β , cos γ ) = g r a d u ∣ P 0 ⋅ l 0 = ∣ g r a d u ∣ P 0 ∣ ∣ l 0 ∣ cos θ = ∣ g r a d u ∣ P 0 ∣ cos θ begin{aligned} left.frac{partial u}{partial bm l}right|_{P_0} &=(u^{'}_x(P_0)+u^{'}_y(P_0)+u^{'}_z(P_0))cdot(cos alpha,cos beta,cos gamma)\[2ex] &=left.bm{grad} ~~uright|_{P_0}cdot bm l^{0}\[2ex] &=|left.bm{grad} ~~uright|_{P_0}||bm l^{0}|costheta\[2ex] &=|left.bm{grad} ~~uright|_{P_0}|costheta end{aligned} ∂l∂u P0=(ux′(P0)+uy′(P0)+uz′(P0))⋅(cosα,cosβ,cosγ)=grad u∣P0⋅l0=∣grad u∣P0∣∣l0∣cosθ=∣grad u∣P0∣cosθ其中 θ theta θ为 g r a d u ∣ P 0 与 l 0 left.bm{grad} ~~uright|_{P_0} 与bm l^{0} grad u∣P0与l0的夹角，当 cos θ = 1 cos theta=1 cosθ=1时， ∂ u ∂ l ∣ P 0 left.frac{partial u}{partial bm l}right|_{P_0} ∂l∂u P0有最大值。
结论 函数在某点的梯度是一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。
设向量场 A ( x , y , z ) = ( P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) ) , bm A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)), A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)),即 A ⃗ = P i ⃗ + Q j ⃗ + R k ⃗ vec{A}=bm Pvec{i}+bm Qvec{j}+bm Rvec{k} A =Pi +Qj +Rk 则散度 d i v A = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z , div A=frac{partial bm P}{partial x}+frac{partial bm Q}{partial y}+frac{partial bm R}{partial z}, divA=∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R,旋度 r o t A = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R bm{rot} ~~A=begin{array}{c|ccc|} &bm{i}&bm{j}&bm{k}\[2ex] &frac{partial }{partial x}&frac{partial }{partial y}&frac{partial }{partial z}\[2ex] &P&Q&R end{array} rot A=i∂x∂Pj∂y∂Qk∂z∂R
零向量方向是不确定的，可以指任意方向。
点乘： a ⃗ ⋅ a ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ 2 vec{a}cdotvec{a}=|vec{a}|^{2} a ⋅a =∣a ∣2
叉乘： a ⃗ × a ⃗ = 0 vec{a}timesvec{a}=0 a ×a =0
坐标轴 x , y , z x,y,z x,y,z轴对应的单位方向向量分别为 i ⃗ , j ⃗ , k ⃗ vec{i},vec{j},vec{k} i ,j ,k ,其任意两两叉乘均为另外一个单位向量，方向由右手定则确定，详细结果如下：
| i ⃗ vec{i} i | j ⃗ vec{j} j | k ⃗ vec{k} k | |
|---|---|---|---|
| i ⃗ vec{i} i | i ⃗ × i ⃗ = 0 ⃗ vec{i}timesvec{i}=vec{0} i ×i =0 | i ⃗ × j ⃗ = k ⃗ vec{i}timesvec{j}=vec{k} i ×j =k | i ⃗ × k ⃗ = − j ⃗ vec{i}timesvec{k}=-vec{j} i ×k =−j |
| j ⃗ vec{j} j | j ⃗ × i ⃗ = − k ⃗ vec{j}timesvec{i}=-vec{k} j ×i =−k | j ⃗ × j ⃗ = 0 ⃗ vec{j}timesvec{j}=vec{0} j ×j =0 | j ⃗ × k ⃗ = i ⃗ vec{j}timesvec{k}=vec{i} j ×k =i |
| k ⃗ vec{k} k | k ⃗ × i ⃗ = j ⃗ vec{k}timesvec{i}=vec{j} k ×i =j | k ⃗ × j ⃗ = − i ⃗ vec{k}timesvec{j}=-vec{i} k ×j =−i | k ⃗ × k ⃗ = 0 ⃗ vec{k}timesvec{k}=vec{0} k ×k =0 |
暂定这样，后续根据情况进行补充……
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