NKOI 1548 路面修整

NKOI 1548 路面修整

【Usaco Feb08 Gold】路面修整

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Case Time Limit:1000MS

Description

FJ打算好好修一下农场中某条凹凸不平的土路。按奶牛们的要求，修好后的
路面高度应当单调上升或单调下降，也就是说，高度上升与高度下降的路段不能
同时出现在修好的路中。

整条路被分成了N段，N个整数A_1, ... , A_N (1 <= N <= 2,000)依次描述
了每一段路的高度(0 <= A_i <= 1,000,000,000)。FJ希望找到一个恰好含N个
元素的不上升或不下降序列B_1, ... , B_N，作为修过的路中每个路段的高度。
由于将每一段路垫高或挖低一个单位的花费相同，修路的总支出可以表示为：

|A_1 - B_1| + |A_2 - B_2| + ... + |A_N - B_N|

请你计算一下，FJ在这项工程上的最小支出是多少。FJ向你保证，这个支出
不会超过2³¹-1。

Input

* 第1行: 输入1个整数：N

* 第2..N+1行: 第i+1行为1个整数：A_i

Output

* 第1行: 输出1个正整数，表示FJ把路修成高度不上升或高度不下降的最小花费

Sample Input

7
1
3
2
4
5
3
9

Sample Output

3

Hint

输出说明:

FJ将第一个高度为3的路段的高度减少为2，将第二个高度为3的路段的高度
增加到5，总花费为|2-3|+|5-3| = 3，并且各路段的高度为一个不下降序列
1,2,2,4,5,5,9。

Source

usaco feb2008 金组

这道题乍一看没有什么思路，因此我尝试了一下对所有的路段进行离散化，用s[]数组来记录最终路段排序的结果

a[]记录输入结果，b[]反序记录a[]

由于求得是最优解，那么将每段的高度改成a[]中已有的元素一定是最优的

我们可以知道这道题是一道动态规划，用f[i][j]来表示前i段中最大(或最小)的一段在s数组中的编号为j时的最小花费

那么当前的第i段，要么不动这一段，要么将第i段的高度弄成s[k]，1<=k<=n

因此得到转移方程f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i-1][k]+abs(s[j]-a[i]))

由于f[i][j-1]在之前的讨论中，一定是最优的，所以我们可以得到

f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i-1][j]+abs(s[j]-a[i]))

因为整个路段可以递增，也可以递减，所以应当讨论两次，我们在第二次中把方程中的a[]换成b[]就行了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
using namespace std;
const int inf=2e9;
int n,s[2005],f[2005][2005],a[2005],b[2005];
int main(){scanf("%d",&n);int i,j,ans=inf;for(i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);s[i]=a[i];b[n-i+1]=a[i];}sort(s+1,s+1+n);for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++){if(j==1)f[i][j]=f[i-1][j]+abs(a[i]-s[j]);else f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i-1][j]+abs(a[i]-s[j]));if(i==n)ans=min(ans,f[i][j]);}memset(f,0,sizeof(f));for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++){if(j==1)f[i][j]=f[i-1][j]+abs(b[i]-s[j]);else f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i-1][j]+abs(b[i]-s[j]));if(i==n)ans=min(ans,f[i][j]);}cout<<ans;
}