三维向量场中的通量

三维向量场中的通量

1.空间向量场

在空间的每一个点，都有 F → = P i ^ + Q j ^ + R k ^ overrightarrow{F}=Pwidehat{i}+Qwidehat{j}+Rwidehat{k} F =Pi +Qj ​+Rk
其中 P P P， Q Q Q， R R R，均为 x x x， y y y， z z z的函数

2.流量

在2维中，向量场穿过曲线C的流量记为
∫ C F → ⋅ n ^ d s int_C{overrightarrow{F}cdot widehat{n} ds} ∫C​F ⋅n  ds
在3维中，向量场穿过曲面S的流量记为
∬ S F → ⋅ n ^ d S iint_S{overrightarrow{F}cdot widehat{n} dS} ∬S​F ⋅n  dS
为了方便表示，记 d S → = n ^ d S doverrightarrow{S}=widehat{n} dS dS =n  dS

3.将 d S → doverrightarrow{S} dS 转换为 d x d y dxdy dxdy

（1）曲面显示表示为 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)

如图所示，假设曲面 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)上一小块 Δ S Delta S ΔS在xoy轴上的投影为矩形ABCD，由于取的块足够小，可以将其视为平行四边形。

矩形 A D AD AD的长度为 Δ x Delta x Δx（x的变化量）， A B AB AB的长度为 Δ y Delta y Δy（y的变化量）
设 E E E点坐标为 ( x , y , f ( x , y ) ) (x,y,f(x,y)) (x,y,f(x,y))，则 F F F点坐标为 ( x , y + Δ y , f ( x , y + Δ y ) ) (x,y+Delta y,f(x,y+Delta y)) (x,y+Δy,f(x,y+Δy))，其中 f ( x , y + Δ y ) f(x,y+Delta y) f(x,y+Δy)可以使用线性近似，即 f ( x , y + Δ y ) ≈ f ( x , y ) + Δ y ⋅ f y ′ f(x,y+Delta y)approx f(x,y)+Delta ycdot f_y^prime f(x,y+Δy)≈f(x,y)+Δy⋅fy′​，则 F F F点坐标为 ( x , y + Δ y , f ( x , y ) + Δ y ⋅ f y ′ ) (x,y+Delta y,f(x,y)+Delta ycdot f_y^prime) (x,y+Δy,f(x,y)+Δy⋅fy′​)，同理可得 H H H点的坐标为 ( x + Δ x , y , f ( x , y ) + Δ x ⋅ f x ′ ) (x+Delta x,y,f(x,y)+Delta xcdot f_x^prime) (x+Δx,y,f(x,y)+Δx⋅fx′​)，则
E F → = ( 0 , Δ y , Δ y ⋅ f y ′ ) overrightarrow{EF}=left( 0,Delta y,Delta ycdot f_y' right) EF =(0,Δy,Δy⋅fy′​)
E H → = ( Δ x , 0 , Δ x ⋅ f x ′ ) overrightarrow{EH}=left( Delta x,0,Delta xcdot f_x' right) EH =(Δx,0,Δx⋅fx′​)
Δ S → = E F → × E H → = ∣ i ^ j ^ k ^ 0 Δ y Δ y ⋅ f y ′ Δ x 0 Δ x ⋅ f x ′ ∣ = ( Δ x Δ y ⋅ f x ′ , Δ x Δ y ⋅ f y ′ , − Δ x Δ y ) = ( f x ′ , f y ′ , − 1 ) Δ x Δ y Delta overrightarrow{S}=overrightarrow{EF}times overrightarrow{EH}=left| begin{matrix} widehat{i}& widehat{j}& widehat{k}\ 0& Delta y& Delta ycdot f_y'\ Delta x& 0& Delta xcdot f_x'\ end{matrix} right|=left( Delta xDelta ycdot f_x',Delta xDelta ycdot f_y',-Delta xDelta y right) =left( f_x',f_y',-1 right) Delta xDelta y ΔS =EF ×EH =∣∣∣∣∣∣​i 0Δx​j ​Δy0​k Δy⋅fy′​Δx⋅fx′​​∣∣∣∣∣∣​=(ΔxΔy⋅fx′​,ΔxΔy⋅fy′​,−ΔxΔy)=(fx′​,fy′​,−1)ΔxΔy
（说明： ∣ E F → × E H → ∣ left| overrightarrow{EF}times overrightarrow{EH} right| ∣∣∣​EF ×EH ∣∣∣​为平行四边形EFGH的面积， E F → × E H → overrightarrow{EF}times overrightarrow{EH} EF ×EH 的方向为平面EFGH的法向量方向）

所以
d S → = ± ( f x ′ , f y ′ , − 1 ) d x d y doverrightarrow{S}=pm left( f_x',f_y',-1 right) dxdy dS =±(fx′​,fy′​,−1)dxdy
正负号取决于取哪面为正方向。

（2）参数化曲面

假设可以将曲面 S S S用 u u u， v v v两个变量表示，即 { x = x ( u , v ) y = y ( u , v ) z = z ( u , v ) left{ begin{array}{l} x=xleft( u,v right)\ y=yleft( u,v right)\ z=zleft( u,v right)\ end{array} right. ⎩⎨⎧​x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v)​ 则位置矢量 r → = r → ( u , v ) overrightarrow{r}=overrightarrow{r}left( u,v right) r =r (u,v)。
考虑与参数 Δ u Delta u Δu和 Δ v Delta v Δv的变化对应的曲面。
由于 Δ u Delta u Δu和 Δ v Delta v Δv较小，所以可以将曲面视为平行四边形，其两条边分别为 ∂ r → ∂ u Δ u frac{partial overrightarrow{r}}{partial u}Delta u ∂u∂r ​Δu和 ∂ r → ∂ v Δ v frac{partial overrightarrow{r}}{partial v}Delta v ∂v∂r ​Δv
所以
Δ S → = ± ( ∂ r → ∂ u Δ u ) × ( ∂ r → ∂ v Δ v ) Delta overrightarrow{S}=pm left( frac{partial overrightarrow{r}}{partial u}Delta u right) times left( frac{partial overrightarrow{r}}{partial v}Delta v right) ΔS =±(∂u∂r ​Δu)×(∂v∂r ​Δv)
所以
d S → = ± ( ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v ) d u d v doverrightarrow{S}=pm left( frac{partial overrightarrow{r}}{partial u}times frac{partial overrightarrow{r}}{partial v} right) dudv dS =±(∂u∂r ​×∂v∂r ​)dudv
正负号取决于取哪面为正方向。

（3）曲面隐式表示为 g ( x , y , z ) = 0 g(x,y,z)=0 g(x,y,z)=0

曲面的法向量 N → = ∇ g overrightarrow{N}=nabla g N =∇g。
取一小块倾斜的曲面（其中一条边水平，并且取的足够小可以看做一小块平面），设取的曲面与水平面 x o y xoy xoy的夹角为 α alpha α，如图所示。

则曲面面积 Δ S Delta S ΔS与在 x o y xoy xoy轴上的投影的面积 Δ A Delta A ΔA关系为
Δ S ⋅ cos ⁡ α = Δ A Delta Scdot cos alpha =Delta A ΔS⋅cosα=ΔA
（注，此处不写为 Δ x Δ y Delta x Delta y ΔxΔy是因为投影的两条边不一定和x轴或y轴平行）
由于
cos ⁡ α = k ^ ⋅ N → ∣ k ^ ∣ ⋅ ∣ N → ∣ = k ^ ⋅ N → ∣ N → ∣ cos alpha =frac{widehat{k}cdot overrightarrow{N}}{left| widehat{k} right|cdot left| overrightarrow{N} right|}=frac{widehat{k}cdot overrightarrow{N}}{left| overrightarrow{N} right|} cosα=∣∣∣​k ∣∣∣​⋅∣∣∣​N ∣∣∣​k ⋅N ​=∣∣∣​N ∣∣∣​k ⋅N ​
则
d S = ∣ N → ∣ k ^ ⋅ N → d A dS=frac{left| overrightarrow{N} right|}{widehat{k}cdot overrightarrow{N}} dA dS=k ⋅N ∣∣∣​N ∣∣∣​​ dA
n ^ d S = ∣ N → ∣ n ^ k ^ ⋅ N → d A = ± N → k ^ ⋅ N → d A = ± N → k ^ ⋅ N → d x d y widehat{n}dS=frac{left| overrightarrow{N} right|widehat{n}}{widehat{k}cdot overrightarrow{N}} dA=pm frac{overrightarrow{N}}{widehat{k}cdot overrightarrow{N}},,dA=pm frac{overrightarrow{N}}{widehat{k}cdot overrightarrow{N}},,dxdy n dS=k ⋅N ∣∣∣​N ∣∣∣​n ​ dA=±k ⋅N N ​dA=±k ⋅N N ​dxdy
正负号取决于取哪面为正方向。

4.散度定理（高斯公式）

如果 S S S是区域 D D D的闭合曲面，曲线法向量方向向外，并且向量 F ⃗ vec{F} F 在区域D内有定义且可微，则
∬ S F → ⋅ d S → = ∭ D d i v ( F → ) d V , 其中  d i v ( F → ) = ( P x + Q y + R z ) iint_S{overrightarrow{F}cdot doverrightarrow{S}}=iiint_D{divleft( overrightarrow{F} right) dV} , text{其中 }divleft( overrightarrow{F} right) =left( P_x+Q_y+R_z right) ∬S​F ⋅dS =∭D​div(F )dV , 其中 div(F )=(Px​+Qy​+Rz​)