根轨迹和频率响应

根轨迹和频率响应

首先我们来了解一下根的定义，在一个闭环一阶系统中，存在过度函数G(s)为s的一个式子，那么它可能会存在零点和极点，说到极点想必大家都非常熟悉了，在此，我们可以理解为“根”=“极点”。那么什么是根轨迹呢，我们给出这样的定义，当一个参数从0增加到正无穷时，根运动的轨迹，就称为根轨迹。在此我们就不过多赘述它的画法了，使用matlab可以很轻易的画出根轨迹，如图所示

 我们主要说一下根轨迹的重要性：

1.如果根轨迹全部位于s平面左侧，就表示无论增益怎么改变，特征根全部具有负实部，则系统就是稳定的。

2.如果根轨迹在虚轴上，表示临界稳定，也就是不断振荡。

3.如果根轨迹根轨迹全部都在s右半平面，则表示无论选择什么参数，系统都是不稳定的。

也就是说增益在一定范围内变化时，系统可以保持稳定，但是当增益的变化超过这一阈值时，系统就会变得不稳定，而这一阈值就是出现在根轨迹与虚轴的交点上，在这一点系统临界稳定。最终可由增益的取值范围判断系统的稳定性。

根轨迹的画法呢我简单提一下，根轨迹是有开环极点指向开环零点，从左向右，两两对应，如果缺少对应的，则以无穷极点/零点代替（举个例子，假如只有一个极点，没有零点，那么根轨迹就是由这个极点指向负无穷），另外，根轨迹是对称于实轴的，其汇合点和分离点并非重点，感兴趣的同学可以自己搜索一下了解一下。

接下来我们说一下频率响应，还是先从一阶系统开始说起，对于一个线性时不变系统来说，过度函数为G(s)，如果我们给它一个正弦函数的输入，那么在经过这个系统之后，它的振幅和相位都会发生变化，具体推导我在此不叙述，它的结果呢，就如图所示，如果对其推导过程感兴趣，请

点击此处

对于频率响应来说，我们还是以一阶系统为例，修改其控制器可以实现高频滤波器和低频滤波器，对于低频滤波器来说，其特点在于“容器”，那么当输入端发生改变时，如下左图讲水龙头开关开关，对于其输出来说影响不大，原因就在于它有缓冲的“容器”，下右图的电容也是同理。

 二阶频率响应和一阶频率响应差不多，无非就是多了个固有频率，大家只需要知道不同的二阶系统其固有频率是不同的即可。

更多内容可以参考b站的视频。