考研数学线上笔记（六）：凯哥微分方程、多元微分、无穷级数概念选择题系列课程
目录
- 微分方程
- 一阶线性微分方程
- 一阶微分方程可以用“齐次通解+非齐次特解”；非齐次的两个解的差乘上C即为齐次的通解
- 任意常数个数和阶数相同-->非齐次前的系数之和满足1（非齐次）或0（齐次）-->解的组合是非齐次或齐次的解
- 上述结论的前提是解不成比例（即线性无关）
- 高阶齐次线性的解法---利用e^λx^特征根是λ求出等号左边，非齐次的特解代入求出等号右边
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- 非齐次的两个解的差乘上C即为齐次的通解，齐次的通解+另一个非齐次的特解即为该
- 二阶非齐次的特解求解
- 两边取极限、两边取积分
- 几个杂题
- 多元函数微分学
- 概念性质
- 几个概念的强弱关系
- 利用定义进行全微分（偏导）计算，选择题可以把x、y的系数的相反数作为偏导数直接秒
- 二阶混合偏导数（即先y后x与先x后y）相等
- 无条件极值
- 条件极值（拉格朗日乘数法）
- 脱帽法的应用
- 隐函数存在定理
- 常数项级数
- 常见结论
- 比较判别法适用于正项级数（不变号级数）
- a~n~+a~n+1~、a~2n-1~+a~2n~算是加括号；a~2n-1~-a~2n~加括号实际进行了一次交错，可能把本身交错变回去
- 偶数次方同时进行了正数化和提阶，无法判断敛散性
- 加了括号收敛的级数，若为正项级数，则原单项的级数也收敛
- 条件收料即本身收敛，加绝对值后发散
- 已知敛散性推不出阶数，阶数也不可以判断敛散性；莱布尼茨判别法需要同时满足递减和趋于0
- 正数项级数，单纯是1/n的高阶无穷小，仍然推不出收敛，只有当就是1/n^p^，p>1才能断定收敛；
- 1/n无法作为判别级数收敛的依据；1/nln(n)是发散的（积分判别法），常作为反例；ln(n)/n^p^，只要p>1就收敛
- 不要把数列的平方和级数的平方搞混
- 幂级数
- 常用展开式
- 利用展开式求函数
- 假装先积后导再直接套公式出结果
- 常数项级数可以转化为幂级数和函数在某点的取值
微分方程
一阶线性微分方程
一阶微分方程可以用“齐次通解+非齐次特解”；非齐次的两个解的差乘上C即为齐次的通解
任意常数个数和阶数相同–>非齐次前的系数之和满足1（非齐次）或0（齐次）–>解的组合是非齐次或齐次的解
上述结论的前提是解不成比例（即线性无关）
高阶齐次线性的解法—利用eλx特征根是λ求出等号左边，非齐次的特解代入求出等号右边
已知方程，求通解
已知通解，反求方程
非齐次的两个解的差乘上C即为齐次的通解，齐次的通解+另一个非齐次的特解即为该
二阶非齐次的特解求解
两边取极限、两边取积分
几个杂题
多元函数微分学
概念性质
几个概念的强弱关系
一阶偏导连续最强，可微次之
单纯的可偏导推不出任何结论，可偏导和连续没有任何关系
一阶偏导要求是二元极限等于该点的偏导值
AB单纯的偏导无法推连续和极限，C单纯的偏导推不出可微，需要加可微的条件才成立
C选项
利用定义进行全微分（偏导）计算，选择题可以把x、y的系数的相反数作为偏导数直接秒
二阶混合偏导数（即先y后x与先x后y）相等
无条件极值
A是x的二阶偏导，C是y的二阶偏导，B是先x后y的二阶偏导
条件极值（拉格朗日乘数法）
脱帽法的应用
隐函数存在定理
常数项级数
常见结论
收+收=收、收+发=发、发+发=？
正项级数大收敛推小收敛，小发散推大发散；
加绝对值，提高发散性；
改为交错级数，提高收敛性；
本身就是交错级数再交错、交错级数相乘，提高发散性；
提高一般项的阶数，提高收敛性；
非正项级数加括号，提高收敛性，正项级数加了也白加；（a2n+a2n+1算加括号，减号、an+an+1不算）
交错和提阶同时进行时，无法判断敛散性；
进行偶数次方时，同时进行了正数化和提阶，无法判断敛散性；
反例
比较判别法适用于正项级数（不变号级数）
an+an+1、a2n-1+a2n算是加括号；a2n-1-a2n加括号实际进行了一次交错，可能把本身交错变回去
偶数次方同时进行了正数化和提阶，无法判断敛散性
加了括号收敛的级数，若为正项级数，则原单项的级数也收敛
条件收料即本身收敛，加绝对值后发散
已知敛散性推不出阶数，阶数也不可以判断敛散性；莱布尼茨判别法需要同时满足递减和趋于0
正数项级数，单纯是1/n的高阶无穷小，仍然推不出收敛，只有当就是1/np，p>1才能断定收敛；
1/n无法作为判别级数收敛的依据；1/nln(n)是发散的（积分判别法），常作为反例；ln(n)/np，只要p>1就收敛
不要把数列的平方和级数的平方搞混
幂级数
常用展开式
利用展开式求函数
假装先积后导再直接套公式出结果
常数项级数可以转化为幂级数和函数在某点的取值
