学习笔记：哈夫曼树及其应用

学习笔记：哈夫曼树及其应用

哈夫曼树及其应用

• 哈夫曼树及其应用
• • 哈夫曼树
  • • 相关概念
    • 哈夫曼树的建立
    • 哈夫曼算法的实现
  • 哈夫曼编译码
  • • 相关概念
    • 哈夫曼树设计编码
    • 哈夫曼编码的构造
    • 哈夫曼编码的译码
  • 哈夫曼编码算法（难度超级大）

哈夫曼树及其应用

哈夫曼树

哈夫曼树又称最优二叉树，它是树的带权路径长度值最小的一棵二叉树，可用于构造最优编码，在信息传输，数据压缩等方面有着广泛的应用。

相关概念

1. 路径：树中一个结点到另一个结点之间的分支序列。

2. 路径长度：路径上分支的条数。

3. 结点的权：给结点赋予的数值。

4. 带权路径长度：结点的权值就是与该结点到数根间路径长度的乘积。

5. 树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路径长度之和，计为：WPL

6. 最优二叉树：在叶子个数n以及各叶子权值Wi确定的条件下，树的带权路径长度WPL值最小的二叉树称为最优二叉树。

（哈夫曼依据最优二叉树的特点：权值越大，离根越近！给出了构造方法，因此最优二叉树又称哈夫曼树。）

哈夫曼树的建立

1. 初始化：按给定的n个权值{w1,w2,…wn},构造n棵二叉树的集合F={T1,T2,…Tn},其每棵二叉树只含一个权值为wi的根结点，左右子树为空树。
2. 在F中选取根结点权值最小的两棵二叉树，分别作为左右子树构造一颗新的二叉树，并置新二叉树根结点的权值为其左右子树根结点的权值之和。
3. 从F中删除选中的两颗树，并插入刚生成的新树。
4. 重复2，3两步，直至F中只含一棵树为止。

哈夫曼算法的实现

对于给定的N个叶子节点，构造哈夫曼树，其最终总的结点数一定是：2N-1。

可选用静态链表作为存储结构。即用哈2N-1个元素的数组来存储哈夫曼树，结点间的父子关系用下标来指示。

在使用哈夫曼树进行编码和编译时，既要用结点的双亲信息，有要用结点的孩子信息，所以采用静态三叉链表存储哈夫曼树。

#define N 20
#define M 2*N-1typedef struct
{int weight;int parent;int LChild;int RChild;
}HTNode,HuffmanTree[M+1];

哈夫曼算法：

void CrtHuffmanTree(HuffmanTree ht,int w[],int n){for(i=1;i<=n;i++)	ht[i]={w[i],0,0,0};m = 2*n-1;for(i=n+1;i<=m;i++) ht[i]={0,0,0,0};for(i=n+1;i<m;i++){select(ht,i-1,&s1,&s2);ht[i].weight=ht[s1].weight+ht[s2].weight;ht[i].LChild=s1;	ht[i].RChild=s2;ht[s1].parent=i;	ht[s2].parent=i;}
}

哈夫曼编译码

在信息传输等实际应用中,需将文本中出现的字符进行二进制编码，传输过后，又要将二进制码翻译为原先的字符，这就是典型的编码与译码问题。

在编码的设计中，通常遵守两个原则:

（1）编码能够唯一地被译码。

（2）编码长度要尽可能的短。

利用哈夫曼树可以得到平均长度最短的编码，因此，在信息传输、数据压缩等方面，哈夫曼树有着广泛的应用。

相关概念

1. 等长编码：每个字符的编码长度相同。
2. 不等长编码：使用频率高的字符编码短，使用频率低的字符编码长。

平均长度最短的编码一般为不等长编码。

3. 前缀编码：任何一个字符的编码都不是同一字符集中另一字符编码的前缀。

哈夫曼树设计编码

哈夫曼树是树的带权路径长度值为最小的二叉树，其特点就是：

叶子结点权值越大，离根越近！

而构造不等长编码的原则是：字符使用频率越高，编码越短！

所以用哈夫曼树设计编码的设想是：

​ 每个待编码的字符对应一个叶子结点；

​ 每个字符的使用频率对应叶子的权值；

​ 每个字符的编码对应根到叶子的路径。

构造哈夫曼编码：

​ 对树的每条分支做标记：左分支标0，右分支标1

​ 根到叶子结点路径所对应的0，1序列构成该叶子结点对应字符的编码。

结论1：哈夫曼编码是前缀编码。

​ 字符不同对应的叶子不同，从根到不同叶子的路径最后一定分叉，故根到一个叶子的路径不可能是另一个叶子路径的前段。

结论2：哈夫曼编码是最优前缀编码。

哈夫曼编码的构造

哈夫曼树存储于静态三叉链表中，在此前提下，由哈夫曼树构造哈夫曼编码，需要从叶子出发，从下向上走一遍从叶子到根的路径，每经过一条路径上的分支，就得到一位哈夫曼编码值,每个叶子的编码应该是由后向前逐位生成的。

结点为双亲的左孩子,当前编码位为0，否则为1。

由叶子走到根,就逆向完成了叶子结点编码的构造。

哈夫曼编码的译码

与构造编码的过程相反, 根据哈夫曼树进行译码时, 需要走一条从根结点到叶子结点的路径,

当前编码位为0时,走向左子树,

当前编码位为1时,走向右子树,

当走到叶子结点时,完成一个字符的译码。

哈夫曼编码算法（难度超级大）

算法中，生成的编码暂存在字符串cd中，一个叶子结点的编码构造完成，再转存到最终的字符数组中。

//存储定义
typedef char* Huffmancode[n+1];
char* cd;
int start;
//hc为Huffmancode指针数组

哈夫曼编码算法（考试不考）

CrtHuffmanCode(HuffmanTree ht,Huffmancode hc,int n)
{cd = (char*)malloc(n*sizeof(char));cd[n-1]='';for(i=1;i<=n;i++){start = n-1; c=i; p=ht[c].parent;while(p!=0){if(ht[p].Lchild==c) cd[--start]='0';else	cd[--start]='1';c = p;p = ht[c].parent;		}hc[i]=(char*)malloc(n-start)*sizeof(char));strcpy(hc[i],&cd[start]);}free(cd);
}

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