《三角函数的诱导公式(一)》示范课教案【高中数学】

2024年2月7日发(作者：)

《三角函数的诱导公式（一）》教学设计

◆ 教学目标

1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.

2.理解诱导公式的推导过程.

3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．

◆ 教学重难点

◆

角函数．

教学重点：推导出四组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三教学难点：解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题．

◆ 课前准备

PPT课件．

◆ 教学过程

一、新课导入

对称美是日常生活中最常见的，在三角函数中－α、π±α、2π－α等角的终边与角α的终边关于坐标轴或原点对称，那么它们的三角函数值之间是否也存在对称美呢？

引语：要解决这个问题，就需要进一步学习三角函数的诱导公式.（板书：7.2.3三角函数的诱导公式（一））

设计意图：情境导入，引入新课。

【探究新知】

问题1：当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数之间有什么关系？

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等．

诱导公式一：sin（α＋k·2π）＝sin α，cos（α＋k·2π）＝cos α，tan（α＋k·2π）＝tan α，其中k∈Z.

即终边相同的角的同一三角函数值相等．

问题2：角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)呢？它们的三角函数之间有什么关系？

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：

诱导公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.

问题3：角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：

诱导公式三：sin（－α）＝－sin α，cos（－α）＝cos α，tan（－α）＝－tan α.

问题4：角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下：

诱导公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.

追问1：如何记忆这四组诱导公式呢？

预设的答案：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．“函数名不

变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数值是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α是第三象限角，故sin(π＋α)＝－sinα．

追问2：诱导公式一、二、三、四的作用是什么？

预设的答案：公式一的作用在于把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题转化为绝对值小于2π的角的三角函数问题；公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函数；公式二、公式四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函数转化为0°～90°之间的角的三角函数．

设计意图：培养学生分析和归纳的能力.

【巩固练习】

例1.

求值：(1)sin(-60°)+cos120°+sin390°+cos210°；

（2）1sin10sin170cos370+1sin1702。

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：(1) 原式=-sin60°+cos(180°-60°)+sin(360°+30°)+cos(180°+30°)

=-sin60°-cos60°+sin30°-cos30°

3113322221sin10sin(18010)（2）原式＝cos(36010)+1sin2(18010)cos101.

2cos102＝1sin210cos10+1sin210=1sin210＝

2cos10反思与感悟：利用诱导公式求任意角三角函数的步骤：

(1)“负化正”——用公式一或三来转化；

(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；

(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；

(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．

设计意图：掌握利用诱导公式求任意角三角函数的方法。

例2. 化简tancos2的值为_______.

sin(5)师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：

tancos2

sin(5)tancossin．

tancos1sin

反思与感悟：三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数；(2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数；(3)注意“1”的变形应用．

设计意图：掌握利用诱导公式化简三角函数式的方法。

例3. （1）已知cos(35)，则cos()sin2()=______

6366（2）已知tan(3)3，求2cos()3sin()的值.

4cos()sin(2)师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：（1）cos(35=cos()，

)cos［()］636612

sin2()sin2()1cos2()1，66633所以原式3223.

333（2）因为tan(3)tan3，原式2cos3sin23tan7。

4cossin4tan反思与感悟：解给值求值问题，将已知式进行变形向所求式子转化或将所求式子进行变形向已知式子转化，想方设法将已知式与所求式之间的各种差异消除，从而将问题解决，同时要注意式子的整体代入，即观察、消除差异、整体代入.

设计意图：掌握利用诱导公式解决给值求值问题。

【课堂小结】

1.板书设计：

7.2.3三角函数的诱导公式（一）

1. 利用诱导公式解决给角求值问题 例1

2. 三角函数式的化简问题 例2

3. 已知某三角函数式的值求其他三角函数式的值(给值求值) 例3

2．总结概括：

问题：1. 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤是什么？

2. 解决条件求值问题策略有哪些？

3. 利用诱导公式一～四化简应注意哪些问题？

师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.

预设的答案：

1.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤

2.解决条件求值问题策略：解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向所求式转化，要么将所求式进行变形向已知式转化．总之，设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．

3.利用诱导公式一～四化简应注意的问题：(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．

设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确三角函数的诱导公式的有关知识．

布置作业：

【目标检测】

330°=( )

设计意图：巩固利用诱导公式求任意角三角函数的方法。

2. 若cos(π+α)=

3，π≤α＜2π,则sin(-α-2π)的值是( )

53344A. B. C. D.

55557713cos()sin()的值为436_______

设计意图：巩固利用诱导公式解决给值求值问题。

3.

tan设计意图：巩固利用诱导公式求任意角三角函数的方法。

4. 已知cos(75°+α)=

1 ，α为第三象限角，则cos(105°-α)sin(α-105°)=________.

3设计意图：巩固利用诱导公式解决给值求值问题。

5. 已知 sin(2753)＝3，α∈(，)，求cos(+)的值．

6366设计意图：巩固利用诱导公式解决给值求值问题。

参考答案：

1. cos330°=cos(180°+150°)=-cos150°=-cos(180°-30°)=cos30°=3.

22. cos(π+α)=，∴cosα=，∵π≤α＜2π,∴sinα=1cos2.

4sin(2)sin.故选C。

53535453. 原式=tan［2()］cos(2)sin(2)436

tan(2)cos(2)sin(2)436

11

12.tancossin224364. 由于cos(105°-α)=cos［180°-(75°+α)］=-cos(75°+α)=-

1

3sin(α-105°)=-sin(105°-α)=-sin［180°-(α+75°)］=-sin(α+75°).

由于cos(75°+α)=

1＞0,α为第三象限角，

31221()233那么75°+α为第四象限角，则sin751cos2(75)∴sin(α-105°)=

22

3∴cos(105°-α)sin(α-105O)

12222

()()3395.因为α∈(275，)，则∈(,).所以cos(+)＝－cos()＝－362666cos(6)＝116＝.

33