高中数学频率分布直方图

2024年9月22日发(作者：)

频率分布直方图

作频率分布直方图的方法为：（1）把横轴分成若干段，每一线段对应一

个组的组距；（2）以此线段为底作矩形，它的高等于该组的

频率

组距

，这

样得出一系列的矩形；（3）每个矩形的面积恰好是该组上的频率.

频率折线图：如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺

次连接起，就得到一条折线，称这条折线为本组数据的频率折线图.

作茎叶图的方法是：将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为

“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎

的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出.

知识点1：利用频率分布直方图分析总体分布

例题1： 2000辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图

所示，时速在

[50,60)

的汽车大约有

A．30辆 B．60辆

C．300辆 D．600辆

频率/组距

变式：某工厂对一批产品进行了抽样

0.150

检测.右图是根据抽样检测后的产品

0.125

0.100

净重（单位：克）数据绘制的频率分

0.075

布直方图，其中产品净重的范围是

0.050

[96，106]，样本数据分组为[96，98），

96 98 100 102 104 106

克

[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于

100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产

品的个数是

A.90 B.75 C. 60 D.45

变式：某初一年级有500名同学，将他们的

频率|组距

身高（单位：cm）数据绘制成频率分布

0.035

直方图（如图），若要从身高在

a



120,130



，



130,140



，



140,150



三

组内的学生中，用分层抽样的方法选取

0.020

30人参加一项活动，则从身高在



130,140



内的学生中选取的人数

0.010

0.005

为 ．

100 110 120 130 140

150

身高

知识点2：用样本分估计总体

例题2某市2010年4月1日—4月30日

对空气污染指数的监测数据如下（主要污

染物为可吸入颗粒物）:

61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,10

3,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,7

1,49,45,

1

(Ⅰ) 完成频率分布表；

（Ⅱ）作出频率分布直方图；

（Ⅲ）根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优：在51~100

之间时，为良；在101~150之间时，为轻微污染；在151~200之间时，

为轻度污染。

请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.

变式：下图是样本容量为200的频率分布直方图。

根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在【6，10】内的频数

为 ，数据落在（2，10）内的概率约为 。

知识点3：用样本的数字特征估计总体的数字特征

例题3为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行

跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示，已知

图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第一小组的频

数为5.

（1）求第四小组的频率；

（2）参加这次测试的学生人数是多少？

（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？

变式：某校高一某班共有64名学生，下图是该班某次数学考试成绩的频

率分布直方图，根据该图，估计该班同学数学成绩的平均数__________

知识点4：茎叶图的应用

例题4右图是2010年在惠州市举行的全省运动会上，七位评委为某跳水

比赛项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，

所剩数据的平均数和方差分别为（ ）

7

A．84，4.84 B．84，1.6

9

8

4

4

6

4

7

C．85，1.6 D．85，4

9

3

变式：如图，是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎叶图，

则得分的中位数与众数分别为

A． 3与3 B．23与3

C．3与23 D．23与23

2

变式：甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示下图，中

间一列的数字表示零件个数，两边的数字表示零件个数的位数。则这10

天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和 。

知识点5：综合应用

例题5某班同学利用国庆节进行社会实践，对

[25,55]

岁的人群随机抽

取

n

人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合

低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各

年龄段人数频率分布直方图：

补全频率分布直方图并求

n

、

a

、

p

的值；

变式：下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出

的样本频率分布直方图，

已知图甲中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入在[1000，

1500），[1500，2000），[2000，2500），[2500，3000），[3000，3500），

[3500，4000]的人数依次为A

1

、A

2

、…、A

6

．图乙是统计图甲中月工资

收入在一定范围内的人数的算法流程图，则样本的容量n=

_________ ；图乙输出的S= _________ ．（用数字作答）

则样本的容量n= ；图乙输出的S= ．（用数字作答）

3

练习:

1．(A级) 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部

介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六

组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，

成绩大于等于14秒且小于15秒；……

第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒.右图是按

上述分组方法得到的频率分布直方图.

设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比

为x,成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，

则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为 .

2.(B级)为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三

学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎，部分数

据丢失，但知道前四组的频数成等比数列，后六组的频数成等差数列，

设最大频率为a，视 力在4.6到5.0之间的学生数为b,则a,b的值分别

为 .

3.（B级）甲、乙两名同学在5次体育测试中的成

绩统计的茎叶图如图所示，若甲、乙两人的平均成

绩分别是x

甲

、x

乙

，则x

甲

x

乙

， 比

稳定.

4.（B级）已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，

12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则

a、b的取值分别是 .

5.（A级）某教师出了一份共3道题的测试卷，每道题1分，全班得3

分，2分，1分，0分的学生所占比例分别为30%,40%,20%,10%,若全

班30人，则全班同学的平均分是 分.

6.（A级）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这

100人成绩的标准差为 .

分数

5 4 3 2 1

人数

20 10 30 30 10

7.（B级）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100

名年龄为17.5岁～18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下：

根据上图可得这100名学生中体重在［56.5，64.5）的学生人数

是 .

4

8.（A级）某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200

人，高三年级400人，现分层抽取容量为45的样本，那么高一、高二、

高三年级抽取的人数分别为 .

9.（A级）某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，则该抽样方

法为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学习负担情况，

则该抽样方法为②.那么①，②分别为 .

10.（A级）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，

超过45岁的有80人.为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从

全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工

人.

12（B级）对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：

寿命100～200～300～400～500～

（h） 200 300 400 500 600

个数

2

0

30 80 40 30

（1）列出频率分布表；

（2）画出频率分布直方图；

（3）估计电子元件寿命在100 h～400 h以内的概率；

（4）估计电子元件寿命在400 h以上的概率.

14.（B级）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下：

甲的得分：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50；

乙的得分：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，59.

（1）制作茎叶图，并对两名运动员的成绩进行比较；

（2）计算上述两组数据的平均数和方差，并比较两名运动员的成绩和

稳定性；

（3）能否说明甲的成绩一定比乙好，为什么？

16.（C级）为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分

钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），

图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频

数为12.

（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？

（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一

学生的达标率是多少？

（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明

理由.

5

知识点1：利用频率分布直方图分析总体分布

例题1：（2011中山期末A）D

变式：(2009山东卷理B)答案 A

变式：（2011杭州质检B）学生中选取的人数为 10 ．

知识点2：用样本分估计总体

例题2（2010安徽卷B），略

变式：（2009湖北卷B） 【答案】64

变式：（2009广东卷理B）略

知识点3：用样本的数字特征估计总体的数字特征

例题3（2011华附月考B）50（人）.

（3）中位数落在第三小组内.

变式：（广东六校联考B）：略

知识点4：茎叶图的应用

例题4(2011·惠州三调A)

【解析】C去掉最高分和最低分后，所剩分数为84，84，86，84，87，

可以计算得平均数和方差.

变式：（2011杭州质检A）（ D ）

变式：(2010年高考天津卷A)

【答案】24，23

知识点5：综合应用

例题5（2011佛山一检C）

解：（Ⅰ）第二组的频率为

1(0.040.040.030.020.01)50.3

，

所以高为

0.3

5

0.06

．频率直方图如下：

-------------------------------2分

第一组的人数为

120

0.6

200

，频率为

0.0450.2

，所以

n

200

0.2

1000

．

由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为

10000.3300

，

所以

p

195

300

0.65

．

第四组的频率为

0.0350.15

，所以第四组的人数为

10000.15150

，

所以

a1500.460

．

变式：（2010广雅月考B）则样本的容量n= 10000 ；图乙输出的S=

6000 ．（用数字作答）

四：方向预测、胜利在望

1．(A级) 答案 0.9,35 2.(B级)答案 0.27，78

3.（B级）答案 ＜ 乙 甲 4.（B级）答案 10.5、10.5

5.（A级）答案 1.9 6 答案

210

5

7.（B级）.答案 40 8.（A级）答案 15，10，20

9.（A级）答案 系统抽样，简单随机抽样

6

10.（A级）答案 10

11（B级）解 （1）又因为第三组的频数为12，

∴本次活动的参评作品数为

12

1

=60.

5

（2）根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共

有60×

6

234641

=18（件）.

（3）第四组的获奖率是

10

18

=

5

9

，第六组上交的作品数量为

60×

1

234641

=3（件），∴第六组的获奖率为

2

3

=

6

9

，显然第六组

的获奖率高.

12（B级）解 （1）样本频率分布表如下：

寿命（h） 频数 频率

100～200 20 0.10

200～300 30 0.15

300～400 80 0.40

400～500 40 0.20

500～600 30 0.15

合计 200 1

（2）频率分布直方图

（3）由频率分布表可以看出，寿命

在100 h～400 h的电子元件出现的

频率为0.65，所以我们估计电子元

件寿命在100 h～400 h的概率为0.65.

（4）由频率分布表可知，寿命在400 h以上的电子元件出现的频率为

0.20+0.15=0.35，故我们估计电子元件寿命在400 h以上的概率为0.35.

14.（B级）解 （1）甲运动员发挥比较

稳定，总体得分情况比乙好.

（2）

x

甲

=33，

s

甲

2

≈127.23，

x

乙

=27，

s

乙

2

≈199.09，∴

x

甲

＞

x

乙

,

s

甲

2

＜

s

乙

2

，

∴甲运动员总体水平比乙好，发挥比

乙稳定.

（3）不能说甲的水平一定比乙好，因

为上述是甲、乙某赛季的得分情况，用样本估计总体也有一定的偶然

性，并不能说一定准确反映总体情况.

16.（C级）解 （1）因此第二小组的频率为：

4

24171593

=0.08.

又因为频率=

第二小组频数

样本容量

，所以样本容量=

第二小组频数

第二小组频率

=

12

0.08

=150.

（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为

171593

24171593

×100%=88%.

（3）由已知可得各小组的频数依次为6,12,51,45,27,9,所以前三组的频

数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在

第四小组内.

7